Um fio estendido ao longo de um eixo x, de x=0 até x=1,00 \mathrm{~m}, conduz uma corrente de 3,00 \mathrm{~A} no sentido positivo de x. O fio é imerso em uma região com um campo magnético não-uniforme dado por \vec{B}=\left(4,00 \mathrm{~T} / \mathrm{m}^{2}\right) x^{2} \hat{\imath}+\left(0,600 \mathrm{~T} / \mathrm{m}^{2}\right) x^{2} \hat{\jmath}. Em notação de vetores unitários, qual é a força magnética sobre o fio?

Passo 1

O enunciado dá um fio reto estendido de x=0 até x=1,00\,\mathrm{m}, percorrido por uma corrente I=3,00\,\mathrm{A} no sentido +\hat{\imath}. O campo magnético varia com x segundo
\vec{B}(x)=\bigl(4,00\,\mathrm{T}/\mathrm{m}^2\bigr)\,x^2\,\hat{\imath} \;+\;\bigl(0,600\,\mathrm{T}/\mathrm{m}^2\bigr)\,x^2\,\hat{\jmath}.
Queremos a força magnética total sobre o fio, dada por
\vec{F} \;=\;\int_{\text{fio}} I\,\mathrm{d}\vec{\ell}\times\vec{B}.

Passo 2

Como o fio está ao longo do eixo x no sentido positivo, um elemento de comprimento é
\mathrm{d}\vec{\ell} = \mathrm{d}x\,\hat{\imath}.
Logo o elemento de força vale
\mathrm{d}\vec{F} = I\,\mathrm{d}\vec{\ell}\times\vec{B} = I\,\bigl(\mathrm{d}x\,\hat{\imath}\bigr)\times\Bigl[(4,00\,x^2)\,\hat{\imath}+(0,600\,x^2)\,\hat{\jmath}\Bigr].

Passo 3

Calculando o produto vetorial, lembrando que \hat{\imath}\times\hat{\imath}=0 e \hat{\imath}\times\hat{\jmath}=\hat{k}, temos
\mathrm{d}\vec{F} = I\,\mathrm{d}x\;\bigl[\,4,00\,x^2\,(\hat{\imath}\times\hat{\imath}) +\,0,600\,x^2\,(\hat{\imath}\times\hat{\jmath})\bigr] = I\,(0,600\,x^2)\,\mathrm{d}x\;\hat{k}.

Passo 4

Integramos de x=0 a x=1,00:
\vec{F} =\int_{0}^{1,00} I\,(0,600\,x^2)\,\mathrm{d}x\;\hat{k} =I\cdot0,600\;\int_{0}^{1,00}x^2\,\mathrm{d}x\;\hat{k} =I\cdot0,600\;\bigl[\tfrac{x^3}{3}\bigr]_{0}^{1,00}\hat{k} =I\cdot0,200\;\hat{k}.

Passo 5

Substituindo I=3,00\,\mathrm{A}:
\vec{F}=3,00\times0,200\;\hat{k} =0,600\;\hat{k}\,\mathrm{N}.

Resposta

\displaystyle \vec{F}=0,600\,\hat{k}\,\mathrm{N}.

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