Um fio fino ocupa o segmento de reta entre
e
, e sua densidade linear é dada por
. Calcule a massa total do fio.
Passo 1
O enunciado pede a massa total de um fio fino que ocupa o segmento de reta entre
e
. Foi dada a densidade linear do fio como
. Informações relevantes:
- O fio está sobre o eixo
do ponto até , ou seja os pontos do fio são com . - A densidade linear em cada ponto é o valor da função
naquele ponto, isto é . - Precisamos somar (integrar) essa densidade ao longo do comprimento do fio para obter a massa total.
Passo 2
Fórmula que usamos: a massa total
de um fio com densidade linear
sobre uma curva
é dada por
Aqui
representa um elemento infinitesimal de comprimento ao longo da curva. Explico: se paramos a curva por um parâmetro
com
e
, então
onde
é a velocidade (módulo da derivada) — isso converte a integração sobre a curva numa integral em
.
Passo 3
Parametrização do segmento dado: como o fio está sobre o eixo
entre
e
, uma parametrização simples é
Nesse caso
e
. Essa escolha é natural porque o parâmetro
coincide com a coordenada
.
Passo 4
Calcular
usando a parametrização: primeiro derivamos
O módulo é
Portanto
Isto faz sentido geometricamente: ao deslocar-se uma pequena quantidade
no parâmetro, o comprimento do segmento deslocado é exatamente
porque estamos no eixo
.
Passo 5
Escrever a integral da massa substituindo
e
. Como
, ao longo da curva
. Logo
Agora calculamos a integral:
Passo 6
Interpretação rápida e dica para prova: a massa é
. Intuitivamente a densidade cresce linearmente de
em
até
em
, então a massa é a área do triângulo com base
e altura
, ou seja
. Essa observação pode ajudar a checar resultados rapidamente.