Um fio fino ocupa o segmento de reta entre (0,0) e (2,0), e sua densidade linear é dada por \delta(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\mathrm{x}. Calcule a massa total do fio.

Passo 1

O enunciado pede a massa total de um fio fino que ocupa o segmento de reta entre (0,0) e (2,0). Foi dada a densidade linear do fio como \delta(x,y)=x. Informações relevantes:
  • O fio está sobre o eixo x do ponto x=0 até x=2, ou seja os pontos do fio são (x,0) com 0\le x\le 2.
  • A densidade linear em cada ponto é o valor da função \delta naquele ponto, isto é \delta(x,0)=x.
  • Precisamos somar (integrar) essa densidade ao longo do comprimento do fio para obter a massa total.

Passo 2

Fórmula que usamos: a massa total m de um fio com densidade linear \delta(x,y) sobre uma curva C é dada por
m=\int_{C}\delta(x,y)\,ds
Aqui ds representa um elemento infinitesimal de comprimento ao longo da curva. Explico: se paramos a curva por um parâmetro t com \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)) e a\le t\le b, então
ds=|\mathbf{r}'(t)|\,dt
onde |\mathbf{r}'(t)| é a velocidade (módulo da derivada) — isso converte a integração sobre a curva numa integral em t.

Passo 3

Parametrização do segmento dado: como o fio está sobre o eixo x entre 0 e 2, uma parametrização simples é
\mathbf{r}(t)=(t,0),\qquad 0\le t\le 2.
Nesse caso x(t)=t e y(t)=0. Essa escolha é natural porque o parâmetro t coincide com a coordenada x.

Passo 4

Calcular ds usando a parametrização: primeiro derivamos
\mathbf{r}'(t)=(1,0).
O módulo é
|\mathbf{r}'(t)|=\sqrt{1^2+0^2}=1.
Portanto
ds=|\mathbf{r}'(t)|\,dt=1\cdot dt=dt.
Isto faz sentido geometricamente: ao deslocar-se uma pequena quantidade dt no parâmetro, o comprimento do segmento deslocado é exatamente dt porque estamos no eixo x.

Passo 5

Escrever a integral da massa substituindo \delta e ds. Como \delta(x,y)=x, ao longo da curva \delta(\mathbf{r}(t))=t. Logo
m=\int_{C}\delta(x,y)\,ds=\int_{0}^{2} \delta(\mathbf{r}(t))\,|\mathbf{r}'(t)|\,dt=\int_{0}^{2} t\cdot 1\,dt.
Agora calculamos a integral:
\int_{0}^{2} t\,dt=\left[\frac{t^{2}}{2}\right]_{0}^{2}=\frac{2^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2}= \frac{4}{2}=2.

Passo 6

Interpretação rápida e dica para prova: a massa é 2. Intuitivamente a densidade cresce linearmente de 0 em x=0 até 2 em x=2, então a massa é a área do triângulo com base 2 e altura 2, ou seja \tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 2=2. Essa observação pode ajudar a checar resultados rapidamente.

Resposta

2

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