Calcule
, onde C é o arco da circunferência
.
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral de linha
onde a curva
é o arco da circunferência parametrizado por
Informações dadas:
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicando o que cada coisa significa): se uma curva
é dada por uma parametrização
com
variando de
até
, e
é um campo vetorial, então a integral de linha de
ao longo de
é
Aqui
é o vetor posição que descreve o ponto sobre a curva para cada
,
é a derivada em relação a
(a velocidade da parametrização),
é o campo avaliado no ponto
, e o ponto
é o produto escalar entre vetores.
Passo 3
Escrevemos explicitamente
e calculamos sua derivada componente a componente:
Derivando cada componente em relação a
:
portanto
Passo 4
Avaliamo o campo
na parametrização
. Substituindo
e
obtemos
Expliquei: trocamos as letras
pelas expressões em função de
dadas pela parametrização.
Passo 5
Calculamos o produto escalar
componente a componente:
Simplificando:
logo
Usando a identidade trigonométrica fundamental
, concluímos
Comentário: isso significa que o integrando é a constante
para todo
no intervalo.
Passo 6
Agora integramos em
no intervalo dado
:
A integral de uma constante
é
, portanto avaliando nos limites: