Calcule \int \_C(\mathrm{y},-\mathrm{x}) \cdot \mathrm{dr}, onde C é o arco da circunferência \mathrm{x}=\cos \mathrm{t}, \mathrm{y}=\sin \mathrm{t}, 0 \leq \mathrm{t} \leq \pi / 2.

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral de linha
\int_{C}(\mathrm{y},-\mathrm{x})\cdot \mathrm{dr}
onde a curva C é o arco da circunferência parametrizado por
\mathrm{x}=\cos t,\qquad \mathrm{y}=\sin t,\qquad 0\le t\le \frac{\pi}{2}.
Informações dadas:
\text{campo vetorial }F(x,y)=(y,-x),
\text{parametrização }r(t)=(\cos t,\sin t),\quad t\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right].çã

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicando o que cada coisa significa): se uma curva C é dada por uma parametrização r(t) com t variando de a até b, e F é um campo vetorial, então a integral de linha de F ao longo de C é
\int_{C}F\cdot \mathrm{dr}=\int_{a}^{b} F\big(r(t)\big)\cdot r'(t)\,dt.
Aqui r(t) é o vetor posição que descreve o ponto sobre a curva para cada t, r'(t) é a derivada em relação a t (a velocidade da parametrização), F(r(t)) é o campo avaliado no ponto r(t), e o ponto \cdot é o produto escalar entre vetores.

Passo 3

Escrevemos explicitamente r(t) e calculamos sua derivada componente a componente:
r(t)=(\cos t,\sin t).
Derivando cada componente em relação a t:
\frac{d}{dt}(\cos t)=-\sin t,\qquad \frac{d}{dt}(\sin t)=\cos t,
portanto
r'(t)=(-\sin t,\cos t).

Passo 4

Avaliamo o campo F(x,y)=(y,-x) na parametrização r(t). Substituindo x=\cos t e y=\sin t obtemos
F\big(r(t)\big)=(\sin t,-\cos t).
Expliquei: trocamos as letras x,y pelas expressões em função de t dadas pela parametrização.

Passo 5

Calculamos o produto escalar F(r(t))\cdot r'(t) componente a componente:
F(r(t))\cdot r'(t)=(\sin t)(-\sin t)+(-\cos t)(\cos t).
Simplificando:
(\sin t)(-\sin t)=-\sin^{2}t,\qquad (-\cos t)(\cos t)=-\cos^{2}t,
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F(r(t))\cdot r'(t)=-\sin^{2}t-\cos^{2}t.
Usando a identidade trigonométrica fundamental \sin^{2}t+\cos^{2}t=1, concluímos
F(r(t))\cdot r'(t)=-1.
Comentário: isso significa que o integrando é a constante -1 para todo t no intervalo.

Passo 6

Agora integramos em t no intervalo dado 0\le t\le \frac{\pi}{2}:
\int_{C}F\cdot \mathrm{dr}=\int_{0}^{\pi/2} -1\,dt.
A integral de uma constante -1 é -t, portanto avaliando nos limites:
\int_{0}^{\pi/2} -1\,dt = \big[-t\big]_{0}^{\pi/2} = -\frac{\pi}{2}-0 = -\frac{\pi}{2}.

Resposta

-\dfrac{\pi}{2}

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