Para o campo
, calcule
, onde C é o segmento de reta que liga ( 0 ,
a (1, 2).
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular
, onde
e
é o segmento de reta que liga os pontos
e
.
Informações dadas:
- A função vetorial é
. - A curva
é o segmento de reta entre e . - Queremos a integral de linha (o trabalho da força
ao longo de ).
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática). Para uma curva orientada parametrizada por
,
, a integral de linha da forma vetorial é definida por
Explicando cada parte:
-
é uma parametrização de : ela dá as coordenadas em função de . -
é a derivada de (o vetor velocidade), que substitui . -
é o campo avaliado ao longo da curva. - O produto escalar
combina esses dois vetores para formar uma função de que integramos em .
Motivação da escolha do método: outra ideia poderia ser tentar usar uma função potencial (teorema fundamental para campos conservativos). Para isso precisaríamos que
para
. Aqui
e
. Calculando:
Como
em geral,
não é conservativo no plano inteiro, então não podemos usar uma primitiva global — logo a parametrização direta é o caminho mais simples e seguro.
Passo 3
Parametrização do segmento de reta. Para o segmento de
até
usamos a parametrização linear
com
. Isso funciona porque em
temos
e em
temos
.
Derivando:
Passo 4
Avaliar o campo ao longo da curva: substituímos
e
em
:
Passo 5
Calcular o produto escalar
:
Passo 6
Agora integramos no intervalo
:
Usamos a regra básica da antiderivada
. Assim