Para o campo \mathrm{F}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\left(\mathrm{x}^{2}, 2 \mathrm{xy}\right), calcule \int \_\mathrm{C} \mathrm{F} \cdot \mathrm{dr}, onde C é o segmento de reta que liga ( 0 , 0) a (1, 2).

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular \displaystyle\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}, onde \mathbf{F}(x,y)=\bigl(x^{2},\,2xy\bigr) e C é o segmento de reta que liga os pontos (0,0) e (1,2).
Informações dadas:
  • A função vetorial é \mathbf{F}(x,y)=\bigl(x^{2},\,2xy\bigr).
  • A curva C é o segmento de reta entre (0,0) e (1,2).
  • Queremos a integral de linha (o trabalho da força \mathbf{F} ao longo de C).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática). Para uma curva orientada parametrizada por \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)), t\in[a,b], a integral de linha da forma vetorial é definida por
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{a}^{b}\mathbf{F}\bigl(x(t),y(t)\bigr)\cdot \mathbf{r}'(t)\,dt.
Explicando cada parte:
  • \mathbf{r}(t) é uma parametrização de C: ela dá as coordenadas (x,y) em função de t.
  • \mathbf{r}'(t) é a derivada de \mathbf{r}(t) (o vetor velocidade), que substitui d\mathbf{r}.
  • \mathbf{F}\bigl(x(t),y(t)\bigr) é o campo avaliado ao longo da curva.
  • O produto escalar \cdot combina esses dois vetores para formar uma função de t que integramos em t.
Motivação da escolha do método: outra ideia poderia ser tentar usar uma função potencial (teorema fundamental para campos conservativos). Para isso precisaríamos que \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x para \mathbf{F}=(P,Q). Aqui P(x,y)=x^{2} e Q(x,y)=2xy. Calculando:
\frac{\partial P}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial Q}{\partial x}=2y.
Como 0\neq 2y em geral, \mathbf{F} não é conservativo no plano inteiro, então não podemos usar uma primitiva global — logo a parametrização direta é o caminho mais simples e seguro.

Passo 3

Parametrização do segmento de reta. Para o segmento de (x_{0},y_{0})=(0,0) até (x_{1},y_{1})=(1,2) usamos a parametrização linear
\mathbf{r}(t)=\bigl(x_{0}+t(x_{1}-x_{0}),\;y_{0}+t(y_{1}-y_{0})\bigr)=\bigl(t,\;2t\bigr),
com t\in[0,1]. Isso funciona porque em t=0 temos \mathbf{r}(0)=(0,0) e em t=1 temos \mathbf{r}(1)=(1,2).
Derivando:
\mathbf{r}'(t)=\bigl(1,\;2\bigr).

Passo 4

Avaliar o campo ao longo da curva: substituímos x=t e y=2t em \mathbf{F}:
\mathbf{F}\bigl(x(t),y(t)\bigr)=\mathbf{F}\bigl(t,2t\bigr)=\bigl(t^{2},\;2\cdot t\cdot 2t\bigr)=\bigl(t^{2},\;4t^{2}\bigr).

Passo 5

Calcular o produto escalar \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t):
\mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\cdot \mathbf{r}'(t)=\bigl(t^{2},\;4t^{2}\bigr)\cdot \bigl(1,\;2\bigr)=t^{2}\cdot 1 + 4t^{2}\cdot 2 = t^{2}+8t^{2}=9t^{2}.

Passo 6

Agora integramos no intervalo t\in[0,1]:
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{0}^{1}9t^{2}\,dt.
Usamos a regra básica da antiderivada \int t^{n}\,dt=\dfrac{t^{n+1}}{n+1}. Assim
\int_{0}^{1}9t^{2}\,dt=9\left[\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=9\cdot\frac{1}{3}=3.

Resposta

3

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