7.4 (a) Dê a lei de Biot-Savart.
(b) Os eixos
e
são percorridos por correntes filamentares de 20 A ao longo de a, e 30 A ao longo de
, respectivamente. Encontre
em
.
(b) Os eixos
Passo 1
O enunciado tem duas partes:
- (a) pede que eu dê a lei de Biot–Savart.
- (b) diz que os eixos
e são percorridos por correntes filamentosas: ao longo do eixo (ou seja, corrente na direção ) e ao longo do eixo (ou seja, corrente na direção ). Precisa-se encontrar no ponto .
Informações relevantes extraídas do enunciado: - Corrente no eixo
: . - Corrente no eixo
: . - Ponto onde calcular
: . - Pressupõe-se meio livre (vácuo) e fios filiformes longos (tipicamente infinitos) sobre os eixos coordenados.
Passo 2
Vou escrever a lei de Biot–Savart e explicar cada símbolo, como pedido em (a).
A forma conveniente para a intensidade de campo magnético
é
Explicando cada símbolo:
-
é o ponto de observação (onde queremos ); aqui . -
é a curva que descreve o fio (linha de corrente). -
é a corrente (constante ao longo do fio filiforme). -
é um elemento vetorial de comprimento sobre o fio, apontando no sentido da corrente; depende da posição do elemento fonte . -
é o vetor que vai do elemento fonte até o ponto de observação . -
é o módulo de . -
é o versor na direção de .
Observação física rápida: a contribuição de cadaé perpendicular tanto a quanto a (por causa do produto vetorial), fazendo o campo circular ao redor do fio (regra da mão direita).
Passo 3
Agora vou obter a fórmula usada para fios retilíneos e infinitos — essa é uma consequência direta da lei de Biot–Savart e é muito usada em provas porque evita integrais longas na hora. Vou mostrar a derivação para que você entenda e possa reproduzir em prova.
Considere um fio infinito ao longo do eixo
, com corrente
. Tome um elemento fonte em
, então
. O ponto de observação é
. Então
Calcule
. Como
só tem componente
,
O módulo
. Colocando isso na lei (forma para
):
Note que
não depende de
, então sai da integral. Defina
(distância ao eixo
). A integral escalar que resta é
Fazendo a substituição
essa integral torna-se
(Esse resultado pode ser obtido por integração direta ou reconhecendo derivada de
.)
Substituindo de volta obtemos
Substituindo de volta obtemos
Reconhecendo o versor azimutal
, a forma conhecida é
para um fio infinito retilíneo (direção
envolvendo o eixo do fio). Aqui
é a distância perpendicular do ponto ao fio.
Breve lembrete intuitivo: o módulo
mostra que o campo decresce com
e é circular ao redor do fio (por
).
Passo 4
Agora aplico isso aos dois fios do enunciado. Primeiro o fio sobre o eixo
com
.
Calcule a distância perpendicular do ponto
ao eixo
:
O versor azimutal em torno do eixo
(no plano
) é
O módulo do campo devido ao fio em
é
Logo a contribuição vetorial do fio no eixo
é
Passo 5
Agora o fio sobre o eixo
com
. A simetria é a mesma, mas ao redor do eixo
.
A distância perpendicular ao eixo
é
Para construir o versor azimutal em torno do eixo
é útil formar o versor radial (do eixo
até o ponto):
Um versor azimutal ao redor de
pode ser obtido por
. Calculando o produto vetorial:
A direção
é a direção do campo criado por uma corrente ao longo de
(regra da mão direita).
O módulo do campo devido ao fio no eixo
é
Logo a contribuição vetorial do fio no eixo
é
Passo 6
Somando as contribuições vetoriais (superposição linear do campo magnético):
Some componente a componente:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Podemos fatorar
para escrita compacta:
Passo 7
Para conforto na conferência, fornecer uma aproximação numérica (opcional na prova, mas útil pra checar contas):
então
Resposta
(a)
\n
(b)
(b)