7.4 (a) Dê a lei de Biot-Savart.
(b) Os eixos z e x são percorridos por correntes filamentares de 20 A ao longo de a, e 30 A ao longo de \mathbf{a}_{x}, respectivamente. Encontre \mathbf{H} em (6,8,-6).

Passo 1

O enunciado tem duas partes:
  • (a) pede que eu dê a lei de Biot–Savart.
  • (b) diz que os eixos z e x são percorridos por correntes filamentosas: 20\\ \text{A} ao longo do eixo z (ou seja, corrente I_z=20\\ \text{A} na direção \mathbf{a}_z) e 30\\ \text{A} ao longo do eixo x (ou seja, corrente I_x=30\\ \text{A} na direção \mathbf{a}_x). Precisa-se encontrar \mathbf{H} no ponto (6,8,-6).
    Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Corrente no eixo z: I_z=20\\ \text{A}.
  • Corrente no eixo x: I_x=30\\ \text{A}.
  • Ponto onde calcular \mathbf{H}: (x,y,z)=(6,8,-6).
  • Pressupõe-se meio livre (vácuo) e fios filiformes longos (tipicamente infinitos) sobre os eixos coordenados.

Passo 2

Vou escrever a lei de Biot–Savart e explicar cada símbolo, como pedido em (a).
A forma conveniente para a intensidade de campo magnético \mathbf{H} é
\mathbf{H}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi}\int_{C}\frac{I\,d\mathbf{l}'\times\hat{\mathbf{R}}}{R^{2}}.
Explicando cada símbolo:
  • \mathbf{r} é o ponto de observação (onde queremos \mathbf{H}); aqui \mathbf{r}=(6,8,-6).
  • C é a curva que descreve o fio (linha de corrente).
  • I é a corrente (constante ao longo do fio filiforme).
  • d\mathbf{l}' é um elemento vetorial de comprimento sobre o fio, apontando no sentido da corrente; depende da posição do elemento fonte \mathbf{r}'.
  • \mathbf{R}=\mathbf{r}-\mathbf{r}' é o vetor que vai do elemento fonte \mathbf{r}' até o ponto de observação \mathbf{r}.
  • R=|\mathbf{R}| é o módulo de \mathbf{R}.
  • \hat{\mathbf{R}}=\mathbf{R}/R é o versor na direção de \mathbf{R}.
    Observação física rápida: a contribuição de cada d\mathbf{l}' é perpendicular tanto a d\mathbf{l}' quanto a \mathbf{R} (por causa do produto vetorial), fazendo o campo circular ao redor do fio (regra da mão direita).

Passo 3

Agora vou obter a fórmula usada para fios retilíneos e infinitos — essa é uma consequência direta da lei de Biot–Savart e é muito usada em provas porque evita integrais longas na hora. Vou mostrar a derivação para que você entenda e possa reproduzir em prova.
Considere um fio infinito ao longo do eixo z, com corrente I. Tome um elemento fonte em \mathbf{r}'=(0,0,z'), então d\mathbf{l}'=(0,0,dz'). O ponto de observação é \mathbf{r}=(x,y,z). Então
\mathbf{R}=\mathbf{r}-\mathbf{r}'=(x,y,z-z').
Calcule d\mathbf{l}'\times\mathbf{R}. Como d\mathbf{l}' só tem componente z,
d\mathbf{l}'\times\mathbf{R}=(0,0,dz')\times(x,y,z-z')=dz'(-y,\,x,\,0).
O módulo R^{2}=x^{2}+y^{2}+(z-z')^{2}. Colocando isso na lei (forma para \mathbf{H}):
\mathbf{H}(\mathbf{r})=\frac{I}{4\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dz'(-y,\,x,\,0)}{\bigl[x^{2}+y^{2}+(z-z')^{2}\bigr]^{3/2}}.
Note que (-y,x,0) não depende de z', então sai da integral. Defina \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}} (distância ao eixo z). A integral escalar que resta é
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dz'}{\bigl[\rho^{2}+(z-z')^{2}\bigr]^{3/2}}.
Fazendo a substituição u=z-z' essa integral torna-se
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{du}{\bigl(\rho^{2}+u^{2}\bigr)^{3/2}}=\frac{2}{\rho^{2}}.
(Esse resultado pode ser obtido por integração direta ou reconhecendo derivada de \frac{u}{\rho^{2}\sqrt{\rho^{2}+u^{2}}}.)
Substituindo de volta obtemos
\mathbf{H}(\mathbf{r})=\frac{I}{4\pi}(-y,\,x,\,0)\cdot\frac{2}{\rho^{2}}=\frac{I}{2\pi\rho}\left(-\frac{y}{\rho},\,\frac{x}{\rho},\,0\right).
Reconhecendo o versor azimutal \hat{\boldsymbol\varphi}=(-\tfrac{y}{\rho},\tfrac{x}{\rho},0), a forma conhecida é
\boxed{\displaystyle \mathbf{H}=\frac{I}{2\pi\rho}\,\hat{\boldsymbol\varphi}}
para um fio infinito retilíneo (direção \hat{\boldsymbol\varphi} envolvendo o eixo do fio). Aqui \rho é a distância perpendicular do ponto ao fio.
Breve lembrete intuitivo: o módulo \tfrac{I}{2\pi\rho} mostra que o campo decresce com 1/\rho e é circular ao redor do fio (por \hat{\boldsymbol\varphi}).

Passo 4

Agora aplico isso aos dois fios do enunciado. Primeiro o fio sobre o eixo z com I_z=20\\ \text{A}.
Calcule a distância perpendicular do ponto (6,8,-6) ao eixo z:
\rho_{z}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10.
O versor azimutal em torno do eixo z (no plano xy) é
\hat{\boldsymbol\varphi}_{z}=\left(-\frac{y}{\rho_{z}},\,\frac{x}{\rho_{z}},\,0\right)=\left(-\frac{8}{10},\,\frac{6}{10},\,0\right)=\left(-\frac{4}{5},\,\frac{3}{5},\,0\right).
O módulo do campo devido ao fio em z é
H_{z}=\frac{I_{z}}{2\pi\rho_{z}}=\frac{20}{2\pi\cdot 10}=\frac{1}{\pi}\\ \text{(A/m)}.
Logo a contribuição vetorial do fio no eixo z é
\mathbf{H}_{z}=\frac{1}{\pi}\left(-\frac{4}{5},\,\frac{3}{5},\,0\right)=\left(-\frac{4}{5\pi},\,\frac{3}{5\pi},\,0\right).

Passo 5

Agora o fio sobre o eixo x com I_x=30\\ \text{A}. A simetria é a mesma, mas ao redor do eixo x.
A distância perpendicular ao eixo x é
\rho_{x}=\sqrt{y^{2}+z^{2}}=\sqrt{8^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10.
Para construir o versor azimutal em torno do eixo x é útil formar o versor radial (do eixo x até o ponto):
\hat{\boldsymbol\rho}_{x}=\left(0,\,\frac{y}{\rho_{x}},\,\frac{z}{\rho_{x}}\right)=\left(0,\,\frac{8}{10},\,\frac{-6}{10}\right)=\left(0,\,\frac{4}{5},\,-\frac{3}{5}\right).
Um versor azimutal ao redor de x pode ser obtido por \hat{\boldsymbol\varphi}_{x}=\hat{\mathbf{x}}\times\hat{\boldsymbol\rho}_{x}. Calculando o produto vetorial:
\hat{\boldsymbol\varphi}_{x}=(1,0,0)\times\left(0,\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right)=\left(0,\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right).
A direção \hat{\boldsymbol\varphi}_{x} é a direção do campo criado por uma corrente ao longo de +\mathbf{a}_x (regra da mão direita).
O módulo do campo devido ao fio no eixo x é
H_{x}=\frac{I_{x}}{2\pi\rho_{x}}=\frac{30}{2\pi\cdot 10}=\frac{3}{2\pi}.
Logo a contribuição vetorial do fio no eixo x é
\mathbf{H}_{x}=\frac{3}{2\pi}\left(0,\,\frac{3}{5},\,\frac{4}{5}\right)=\left(0,\,\frac{9}{10\pi},\,\frac{12}{10\pi}\right)=\left(0,\,\frac{9}{10\pi},\,\frac{6}{5\pi}\right).

Passo 6

Somando as contribuições vetoriais (superposição linear do campo magnético):
\mathbf{H}=\mathbf{H}_{z}+\mathbf{H}_{x}=\left(-\frac{4}{5\pi},\,\frac{3}{5\pi},\,0\right)+\left(0,\,\frac{9}{10\pi},\,\frac{6}{5\pi}\right).
Some componente a componente:
  • Componente x:
H_x=-\frac{4}{5\pi}.
  • Componente y:
H_y=\frac{3}{5\pi}+\frac{9}{10\pi}=\frac{6}{10\pi}+\frac{9}{10\pi}=\frac{15}{10\pi}=\frac{3}{2\pi}.
  • Componente z:
H_z=0+\frac{6}{5\pi}=\frac{6}{5\pi}.
Podemos fatorar 1/\pi para escrita compacta:
\mathbf{H}=\frac{1}{\pi}\left(-\frac{4}{5},\,\frac{3}{2},\,\frac{6}{5}\right)\quad\text{(A/m)}.

Passo 7

Para conforto na conferência, fornecer uma aproximação numérica (opcional na prova, mas útil pra checar contas):
\frac{1}{\pi}\approx0{,}31831,
então
\mathbf{H}\approx\bigl(-0{,}25465,\;0{,}47746,\;0{,}38197\bigr)\\ \text{A/m}.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{H}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi}\int_{C}\frac{I\,d\mathbf{l}'\times\hat{\mathbf{R}}}{R^{2}}.\n
(b) \displaystyle \mathbf{H}=\frac{1}{\pi}\left(-\frac{4}{5},\,\frac{3}{2},\,\frac{6}{5}\right)\\ \text{A/m}

Exercícios relacionados