Um fio leve conecta dois objetos, de massas m e M, de tal modo que o de massa M permanece em equilíbrio enquanto o de massa m faz um movimento circular uniforme num plano horizontal como ilustrado.
Denote por l o comprimento do fio que gira.
M
Escreva a expressão para a resultante centrípeta no objeto girante em termos dos dados.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos dois objetos, um com massa m e outro com massa M, ligados por um fio leve. O objeto de massa M está parado, em equilíbrio, enquanto o objeto de massa m está girando em um círculo horizontal com raio l. Nosso objetivo é encontrar a expressão da força resultante centrípeta que age sobre o objeto que está girando.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é força centrípeta. Ela é a força que mantém um objeto em movimento circular, puxando o objeto em direção ao centro da trajetória. No nosso caso, essa força vem do fio que está ligando os dois objetos.

Passo 3

Como o objeto de massa M está em equilíbrio, isso significa que as forças que atuam sobre ele estão balanceadas. O fio exerce uma força de tensão que tem uma componente vertical igual ao peso do objeto M.

Passo 4

Vamos chamar a tensão no fio de T. Para o objeto M em equilíbrio, a componente vertical da tensão deve equilibrar o peso do objeto. Então temos:
T cos(theta) = M g
onde theta é o ângulo que o fio faz com a vertical e g é a aceleração da gravidade.

Passo 5

Para o objeto m que está fazendo o movimento circular, a força centrípeta é fornecida pela componente horizontal da tensão no fio. Então, a força centrípeta Fc é:
Fc = T sin(theta)

Passo 6

Para encontrar Fc em termos dos dados fornecidos, precisamos relacionar theta com as outras quantidades. Pelo triângulo formado pelo fio, temos que:
tan(theta) = FcM g
Mas também sabemos que a força centrípeta é dada por:
Fc = m v^2l
onde v é a velocidade do objeto m.

Passo 7

No entanto, como não temos a velocidade v, vamos expressar Fc em termos das massas e do comprimento do fio. A partir do equilíbrio das forças, podemos substituir T da primeira equação na segunda:
Fc = M gcos(theta) sin(theta) = M g tan(theta)
E como tan(theta) = FcM g, substituindo na expressão, temos:
Fc = M g cdot FcM g
Isso nos mostra que a expressão está correta e que a força centrípeta depende diretamente das massas e da gravidade.

Resposta

A força resultante centrípeta no objeto girante é dada por:
Fc = m M gm + M

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