Um fio leve conecta dois objetos, de massas
e
, de tal modo que o de massa
permanece em equilíbrio enquanto o de massa
faz um movimento circular uniforme num plano horizontal como ilustrado.
Denote por
o comprimento do fio que gira.
M
Escreva a expressão para a resultante centrípeta no objeto girante em termos dos dados.
Denote por
M
Escreva a expressão para a resultante centrípeta no objeto girante em termos dos dados.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos dois objetos, um com massa
e outro com massa
, ligados por um fio leve. O objeto de massa
está parado, em equilíbrio, enquanto o objeto de massa
está girando em um círculo horizontal com raio
. Nosso objetivo é encontrar a expressão da força resultante centrípeta que age sobre o objeto que está girando.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é força centrípeta. Ela é a força que mantém um objeto em movimento circular, puxando o objeto em direção ao centro da trajetória. No nosso caso, essa força vem do fio que está ligando os dois objetos.
Passo 3
Como o objeto de massa
está em equilíbrio, isso significa que as forças que atuam sobre ele estão balanceadas. O fio exerce uma força de tensão que tem uma componente vertical igual ao peso do objeto
.
Passo 4
Vamos chamar a tensão no fio de
. Para o objeto
em equilíbrio, a componente vertical da tensão deve equilibrar o peso do objeto. Então temos:
onde
é o ângulo que o fio faz com a vertical e
é a aceleração da gravidade.
Passo 5
Para o objeto
que está fazendo o movimento circular, a força centrípeta é fornecida pela componente horizontal da tensão no fio. Então, a força centrípeta
é:
Passo 6
Para encontrar
em termos dos dados fornecidos, precisamos relacionar
com as outras quantidades. Pelo triângulo formado pelo fio, temos que:
Mas também sabemos que a força centrípeta é dada por:
onde
é a velocidade do objeto
.
Passo 7
No entanto, como não temos a velocidade
, vamos expressar
em termos das massas e do comprimento do fio. A partir do equilíbrio das forças, podemos substituir
da primeira equação na segunda:
E como
, substituindo na expressão, temos:
Isso nos mostra que a expressão está correta e que a força centrípeta depende diretamente das massas e da gravidade.
Resposta
A força resultante centrípeta no objeto girante é dada por: