Um fio de massa 400 g e comprimento 8 m é tensionado horizontalmente com uma força de 20 N . Em seguida, o fio é perturbado com um deslocamento vertical de 2 0 c m em relação à posição de repouso que se repete com de período 0,5 s, gerando assim a propagação de uma onda transversal.
a) Determine a amplitude ( A ), a frequência ( f ), a velocidade ( nu ) e o comprimento de onda ( lambda ) da onda que irá percorrer o fio.
b) Escreva a função de onda y(x, t) desse fio em relação ao deslocamento vertical de um ponto Q qualquer.
c) Determine a máxima velocidade e máxima aceleração do ponto Q citado no item anterior.
d) Determine a potência média transferida a cada ponto do fio.

Passo 1

O enunciado trata de uma onda transversal numa corda de massa total m=0,4:kg e comprimento L=8:m sob tensão T=20:N. A corda é deslocada verticalmente até 20:cm e oscila com período 0,5:s. Vamos precisar de: densidade linear de massa mu, velocidade da onda v, frequência f, comprimento de onda lambda, função de onda y(x,t), além das fórmulas para velocidade máxima vmax, aceleração máxima amax e potência média transmitida.

Passo 2

Primeiro calculamos a densidade linear de massa:
mu = mL = 0,48 = 0,05:kg/m
A amplitude é simplesmente
A = 20:cm = 0,20:m,
o período é Tper=0,5:s e a frequência
f = 1Tper = 10,5 = 2:Hz
A velocidade de propagação na corda vem de
v = raizTmu = raiz200,05 = raiz400 = 20:m/s
Finalmente, o comprimento de onda é
lambda = vf = 202 = 10:m

Passo 3

Para escrever a função de onda escolhemos a forma de uma onda viajante no sentido positivo de x. O número de onda é
k = 2pilambda = 2pi10 = pi5:rad/m,
e a frequência angular é
omega = 2pi f = 2picdot2 = 4pi:rad/s
Logo, numa fase inicial nula a função de onda fica
y(x,t) = A sinl(kx - omega tr) = 0,20;sin!l(tfracpi5x ;-;4pi,tr):m

Passo 4

A velocidade vertical instantânea de um ponto é partial y/partial t e a aceleração é partial^2 y/partial t^2. As amplitudes máximas são
vmax = A,omega = 0,20cdot4pi = 0,8piapprox2,51:m/s,
amax = A,omega^2 = 0,20cdot(4pi)^2 = 0,20cdot16pi^2 = 3,2pi^2approx31,6:m/s^2

Passo 5

A potência média transmitida por uma onda numa corda é
bar P = 12,mu,omega^2,A^2,v
Substituindo os valores:
bar P = tfrac12cdot0,05cdot(4pi)^2cdot(0,20)^2cdot20 = 0,32,pi^2 approx3,16:W

Resposta

(a) A=0,20:m, f=2:Hz, v=20:m/s, lambda=10:m
(b) y(x,t)=0,20;sin!l(tfracpi5x - 4pi tr):m
(c) vmax=0,8piapprox2,51:m/s, amax=3,2pi^2approx31,6:m/s^2
(d) bar Papprox3,16:W

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