7- Um fio de 0,5 \mathrm{~cm} de raio é percorrido por uma corrente de 100 A que sse distribui uniformemente pela seção reta do fio. Determine o campo B a) a 0,1 \mathrm{~cm} do centro do fio; b) na superfície do fio; c) em um ponto fora do fio a 0,2 \mathrm{~cm} da superfície. d) Faça um gráfico de B em função da distância a partir do centro do fio.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas claras:
  • (a) O valor do campo magnético B a uma distância de 0{,}1\\ \text{cm} do centro do fio.
  • (b) O valor de B na superfície do fio.
  • (c) O valor de B em um ponto fora do fio a 0{,}2\\ \text{cm} da superfície.
  • (d) Um gráfico (descrição) de B em função da distância r a partir do centro do fio.
Informações fornecidas:
  • Raio do fio: R=0{,}5\\ \text{cm}.
  • Corrente total: I=100\\ \text{A}.
  • A corrente distribui-se uniformemente pela seção reta do fio (ou seja, densidade de corrente constante).
  • Distâncias pedidas: r=0{,}1\\ \text{cm} (a), r=R (b), e r=R+0{,}2\\ \text{cm} (c).
Observação: vou trabalhar em unidades SI (metros, tesla), convertendo os comprimentos para metros: R=0{,}5\\ \text{cm}=0{,}005\\ \text{m}.

Passo 2

Princípio físico usado (explicação didática e passo a passo):
  • Para calcular o campo magnético em torno de um fio longo com corrente, usamos uma relação que liga a circulação do campo magnético ao total de corrente atravessando uma superfície limitada por essa curva (lei de Ampère). A versão que precisamos dá, para simetria cilíndrica, uma forma simples do campo: o campo é tangencial a círculos concêntricos com o eixo do fio e tem módulo constante sobre um círculo de raio r.
  • A fórmula geral que se aplica é, para um círculo de raio r centrado no fio:
\oint \vec{B}\cdot d\vec{\ell}= \mu_{0} I_{\text{enc}},
onde \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo ( \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \text{T}\cdot\text{m}/\text{A}) e I_{\text{enc}} é a corrente envolvida pelo laço (corrente que passa pelo interior do círculo de raio r).
  • Usando a simetria: \vec{B} é tangencial e tem módulo B(r) constante no círculo, e o comprimento do círculo é 2\pi r. Assim:
B(r)\, (2\pi r)=\mu_{0} I_{\text{enc}}.
  • Agora precisamos de I_{\text{enc}}. Como a corrente está distribuída uniformemente pela seção circular do raio R, a densidade de corrente (corrente por área) é
J=\frac{I}{\pi R^{2}}.
A corrente dentro de um raio r\le R é a densidade multiplicada pela área \pi r^{2}:
I_{\text{enc}}=\;J\cdot \pi r^{2}=\frac{I}{\pi R^{2}}\cdot\pi r^{2}=\frac{I r^{2}}{R^{2}}.
  • Substituindo em Ampère:
B(r)\,(2\pi r)=\mu_{0}\,\frac{I r^{2}}{R^{2}}.
  • Simplificando para r\le R (dentro do fio):
B(r)=\mu_{0}\,\frac{I}{2\pi R^{2}}\,r.
Essa fórmula mostra que, dentro do fio, B cresce linearmente com r (porque a corrente “encapsulada” cresce como r^{2} enquanto o perímetro aumenta como r).
  • Para r\ge R (fora do fio) toda a corrente I está dentro do laço, então I_{\text{enc}}=I e:
B(r)=\mu_{0}\,\frac{I}{2\pi r}.
  • Observação prática: \displaystyle \frac{\mu_{0}}{2\pi}=\frac{4\pi\times10^{-7}}{2\pi}=2\times10^{-7}\\ \text{T}\cdot\text{m}/\text{A}. Usaremos essa constante para contas numéricas.

Passo 3

Cálculo do item (a) — r=0{,}1\\ \text{cm} (dentro do fio).
  • Converter para metros: r=0{,}1\\ \text{cm}=0{,}001\\ \text{m}.
  • Fórmula para r\le R:
B(r)=\mu_{0}\,\frac{I}{2\pi R^{2}}\,r.
  • Substituindo \displaystyle \frac{\mu_{0}}{2\pi}=2\times10^{-7}, I=100\\ \text{A}, r=0{,}001\\ \text{m} e R=0{,}005\\ \text{m}:
R^{2}=(0{,}005)^{2}=0{,}000025=2{,}5\times10^{-5}\\ \text{m}^{2}.
B(0{,}001)=2\times10^{-7}\cdot100\cdot\frac{0{,}001}{2{,}5\times10^{-5}}.
  • Faço passo a passo:
2\times10^{-7}\cdot100=2\times10^{-5}.
2\times10^{-5}\cdot0{,}001=2\times10^{-8}.
\frac{2\times10^{-8}}{2{,}5\times10^{-5}}=\frac{2}{2{,}5}\times10^{-8+5}=0{,}8\times10^{-3}=8{,}0\times10^{-4}\\ \text{T}.
  • Em unidades mais legíveis: 8{,}0\times10^{-4}\\ \text{T}=0{,}8\\ \text{mT}.

Passo 4

Cálculo do item (b) — na superfície do fio r=R=0{,}005\\ \text{m}.
  • Podemos usar qualquer uma das duas fórmulas (dentro ou fora): elas coincidem em r=R. Usando a forma externa:
B(R)=\mu_{0}\,\frac{I}{2\pi R}=2\times10^{-7}\cdot\frac{100}{0{,}005}.
  • Calculo:
2\times10^{-7}\cdot100=2\times10^{-5}.
\frac{2\times10^{-5}}{0{,}005}=2\times10^{-5}\div5\times10^{-3}= \frac{2}{5}\times10^{-2}=0{,}4\times10^{-2}=4{,}0\times10^{-3}\\ \text{T}.
  • Em unidades habituais: 4{,}0\times10^{-3}\\ \text{T}=4{,}0\\ \text{mT}.

Passo 5

Cálculo do item (c) — ponto fora do fio a 0{,}2\\ \text{cm} da superfície.
  • Distância do centro: r=R+0{,}2\\ \text{cm}=0{,}5\\ \text{cm}+0{,}2\\ \text{cm}=0{,}7\\ \text{cm}=0{,}007\\ \text{m}.
  • Fórmula para fora: \displaystyle B(r)=\mu_{0}\,\frac{I}{2\pi r}=2\times10^{-7}\cdot\frac{100}{0{,}007}.
  • Calculo:
2\times10^{-7}\cdot100=2\times10^{-5}.
\frac{2\times10^{-5}}{0{,}007}\approx 2{,}8571429\times10^{-3}\\ \text{T}.
  • Arredondando razoavelmente: B(0{,}007)\approx2{,}86\times10^{-3}\\ \text{T}=2{,}86\\ \text{mT}.

Passo 6

Resposta do item (d) — gráfico / comportamento de B\) versus \(r\) e pontos importantes. - Fórmula por partes (essa é a forma que desenhamos no gráfico): \[B(r)= \begin{cases} \mu_{0}\dfrac{I}{2\pi R^{2}}\,r, & 0\le r\le R,\\[6pt] \mu_{0}\dfrac{I}{2\pi r}, & r\ge R. \end{cases}
  • Interpretação e forma do gráfico:
    • Para 0\le r\le R\]: \(B cresce linearmente com r, começando em B(0)=0 (no centro o campo é zero) até B(R)=4{,}0\times10^{-3}\\ \text{T} (valor na superfície). No gráfico isso aparece como uma linha reta subindo do zero até r=R.
    • Para r\ge R: B decai como 1/r. No gráfico isso é uma curva que começa em r=R com valor 4{,}0\times10^{-3}\\ \text{T} e depois vai diminuindo lentamente à medida que r aumenta (hipérbole em escala linear).
    • O gráfico é contínuo em r=R (os dois ramos dão o mesmo valor em r=R), mas a derivada tem descontinuidade (o comportamento muda de linear para 1/r).
  • Pontos numéricos úteis (para plotar rapidamente):
    • r=0\\ \text{m}\Rightarrow B=0.
    • r=0{,}001\\ \text{m} (0{,}1\\ \text{cm})\Rightarrow B=8{,}0\times10^{-4}\\ \text{T}.
    • r=0{,}005\\ \text{m} (0{,}5\\ \text{cm})\Rightarrow B=4{,}0\times10^{-3}\\ \text{T}.
    • r=0{,}007\\ \text{m} (0{,}7\\ \text{cm})\Rightarrow B\approx2{,}86\times10^{-3}\\ \text{T}.
  • Direção do campo: o vetor \vec{B} é tangencial aos círculos concêntricos (sentido dado pela regra da mão direita em relação ao sentido da corrente). (Isso ajuda a desenhar setinhas no gráfico se quiser mostrar direção.)]

Resposta

(a) B(0{,}1\\ \text{cm})=8{,}0\times10^{-4}\\ \text{T}=0{,}8\\ \text{mT}\) (b) \(B(\text{superfície})=4{,}0\times10^{-3}\\ \text{T}=4{,}0\\ \text{mT}\) \text{(c)} \(B\big(R+0{,}2\\ \text{cm}\big)=2{,}86\times10^{-3}\\ \text{T}=2{,}86\\ \text{mT}\) (d) \(B(r)=\begin{cases}\displaystyle \mu_{0}\dfrac{I}{2\pi R^{2}}\,r, & 0\le r\le R,\\[6pt]\displaystyle \mu_{0}\dfrac{I}{2\pi r}, & r\ge R,\end{cases} com comportamento: cresce linearmente de 0 a r=R e decai como 1/r para r>R.]

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