7- Um fio de
de raio é percorrido por uma corrente de 100 A que sse distribui uniformemente pela seção reta do fio. Determine o campo B a) a
do centro do fio; b) na superfície do fio; c) em um ponto fora do fio a
da superfície. d) Faça um gráfico de B em função da distância a partir do centro do fio.
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas claras:
- (a) O valor do campo magnético
a uma distância de do centro do fio. - (b) O valor de
na superfície do fio. - (c) O valor de
em um ponto fora do fio a da superfície. - (d) Um gráfico (descrição) de
em função da distância a partir do centro do fio.
Informações fornecidas:
- Raio do fio:
. - Corrente total:
. - A corrente distribui-se uniformemente pela seção reta do fio (ou seja, densidade de corrente constante).
- Distâncias pedidas:
(a), (b), e (c).
Observação: vou trabalhar em unidades SI (metros, tesla), convertendo os comprimentos para metros:
.
Passo 2
Princípio físico usado (explicação didática e passo a passo):
- Para calcular o campo magnético em torno de um fio longo com corrente, usamos uma relação que liga a circulação do campo magnético ao total de corrente atravessando uma superfície limitada por essa curva (lei de Ampère). A versão que precisamos dá, para simetria cilíndrica, uma forma simples do campo: o campo é tangencial a círculos concêntricos com o eixo do fio e tem módulo constante sobre um círculo de raio
. - A fórmula geral que se aplica é, para um círculo de raio
centrado no fio:
onde
é a permeabilidade do vácuo (
) e
é a corrente envolvida pelo laço (corrente que passa pelo interior do círculo de raio
).
- Usando a simetria:
é tangencial e tem módulo constante no círculo, e o comprimento do círculo é . Assim:
- Agora precisamos de
. Como a corrente está distribuída uniformemente pela seção circular do raio , a densidade de corrente (corrente por área) é
A corrente dentro de um raio
é a densidade multiplicada pela área
:
- Substituindo em Ampère:
- Simplificando para
(dentro do fio):
Essa fórmula mostra que, dentro do fio,
cresce linearmente com
(porque a corrente “encapsulada” cresce como
enquanto o perímetro aumenta como
).
- Para
(fora do fio) toda a corrente está dentro do laço, então e:
- Observação prática:
. Usaremos essa constante para contas numéricas.
Passo 3
Cálculo do item (a) —
(dentro do fio).
- Converter para metros:
. - Fórmula para
:
- Substituindo
, , e :
- Faço passo a passo:
- Em unidades mais legíveis:
Passo 4
Cálculo do item (b) — na superfície do fio
.
- Podemos usar qualquer uma das duas fórmulas (dentro ou fora): elas coincidem em
. Usando a forma externa:
- Calculo:
- Em unidades habituais:
Passo 5
Cálculo do item (c) — ponto fora do fio a
da superfície.
- Distância do centro:
. - Fórmula para fora:
- Calculo:
- Arredondando razoavelmente:
Passo 6
Resposta do item (d) — gráfico / comportamento de
- Interpretação e forma do gráfico:
- Para
cresce linearmente com
, começando em (no centro o campo é zero) até (valor na superfície). No gráfico isso aparece como uma linha reta subindo do zero até . - Para
: decai como . No gráfico isso é uma curva que começa em com valor e depois vai diminuindo lentamente à medida que aumenta (hipérbole em escala linear). - O gráfico é contínuo em
(os dois ramos dão o mesmo valor em ), mas a derivada tem descontinuidade (o comportamento muda de linear para ).
- Para
cresce linearmente com
- Pontos numéricos úteis (para plotar rapidamente):
-
. -
. -
. -
.
-
- Direção do campo: o vetor
é tangencial aos círculos concêntricos (sentido dado pela regra da mão direita em relação ao sentido da corrente). (Isso ajuda a desenhar setinhas no gráfico se quiser mostrar direção.)]
Resposta
(a)
com comportamento: cresce linearmente de
a
e decai como
para
.]