Um fio metálico cilíndrico com 3 mm de diâmetro é exigido para conduzir uma corrente de 12 A com uma queda mínima de voltagem de
por 300 mm de fio. Quais dos metais e ligas listados na tabela abaixo são possíveis candidatos?
Metal
Condutividade Elétrica
Prata
6,8.10
Cobre
Ouro
Alumínio
3,8.10
Latão (70Cu-30Zn)
Ferro
Platina
Aço-carbono
0,6.10
Aço inoxidável
0,2.10
| Metal | Condutividade Elétrica
|
| Prata | 6,8.10
|
| Cobre |
|
| Ouro |
|
| Alumínio | 3,8.10
|
| Latão (70Cu-30Zn) |
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| Ferro |
|
| Platina |
|
| Aço-carbono | 0,6.10
|
| Aço inoxidável | 0,2.10
|
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar quais dos metais/ligas da tabela são candidatos possíveis para um fio cilíndrico que satisfaça a restrição de queda de tensão.
Informações dadas (peguei estes números do enunciado):
- diâmetro do fio:
; - comprimento do fio:
; - corrente que percorre o fio:
; - queda máxima de tensão permitida ao longo do fio:
. - As condutividades elétricas
dos materiais foram fornecidas na tabela do enunciado (vou usar esses valores para comparar).
Passo 2
Relembrando as fórmulas que vamos usar (mini-aula rápida):
- A resistência de um fio cilíndrico homogêneo está dada por
onde
é a resistividade elétrica (unidade
),
é o comprimento do fio e
sua área da secção transversal.
- A condutividade
é o inverso da resistividade:
- A queda de tensão quando passa corrente
é
Queremos que
. Portanto a resistência máxima permitida é
Explicando em palavras: primeiro encontro a resistência máxima que não ultrapassa a queda de tensão permitida; depois isso me dá um limite para a resistividade (ou, equivalentemente, um limite mínimo para a condutividade) do material, via
.
Passo 3
Converto unidades e calculo
:
-
. -
. -
. Vou manter como fração útil: .
Passo 4
Calculo a área da secção transversal do fio (círculo) e explico cada termo:
- Área de um círculo:
, onde é o diâmetro. - Substituindo
:
Calculando numericamente:
Passo 5
Achar a resistividade máxima permitida
:
- A partir de
temos . Portanto
- Substituindo os valores numéricos:
Faço em duas etapas:
Interpretação: o material do fio deve ter resistividade menor ou igual a
para que a queda de tensão não passe de
.
Passo 6
Converter para condutividade mínima exigida e explicar:
- Como
, a condutividade mínima exigida é
Ou seja, só materiais com
atendem à condição.
Passo 7
Comparação com a tabela (estou usando explicitamente as condutividades que vieram na tabela do enunciado):
- Prata:
. Como , atende. - Cobre:
. Como , atende. - Ouro:
. Não atende ( ). - Alumínio:
. Não atende. - Latão (70Cu-30Zn):
. Não atende. - Ferro:
. Não atende. - Platina:
. Não atende. - Aço-carbono:
. Não atende. - Aço inoxidável:
. Não atende.
Comentário prático e verificação rápida (opcional, para ganhar confiança): usando os valores acima calcula-se a queda real para cobre:
-
. -
. -
. Portanto cobre satisfaz a restrição com folga. Mesmo raciocínio para prata dá queda ainda menor.
Resposta
Prata
Cobre
Cobre