Um fio metálico cilíndrico com 3 mm de diâmetro é exigido para conduzir uma corrente de 12 A com uma queda mínima de voltagem de 0,01 \mathrm{~V} por 300 mm de fio. Quais dos metais e ligas listados na tabela abaixo são possíveis candidatos?
Metal Condutividade Elétrica \boldsymbol{[} \boldsymbol{(} \boldsymbol{\Omega} \mathbf{- m} \boldsymbol{)}^{\boldsymbol{-} \mathbf{1}} \boldsymbol{]}
Prata 6,8.10 { }^{7}
Cobre 6,0.10^{7}
Ouro 4,3.10^{7}
Alumínio 3,8.10 { }^{7}
Latão (70Cu-30Zn) 1,6.10^{7}
Ferro 1,0.10^{7}
Platina 0,94.10^{7}
Aço-carbono 0,6.10 { }^{7}
Aço inoxidável 0,2.10 { }^{7}

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar quais dos metais/ligas da tabela são candidatos possíveis para um fio cilíndrico que satisfaça a restrição de queda de tensão.
Informações dadas (peguei estes números do enunciado):
  • diâmetro do fio: d=3\\ \mathrm{mm};
  • comprimento do fio: L=300\\ \mathrm{mm};
  • corrente que percorre o fio: I=12\\ \mathrm{A};
  • queda máxima de tensão permitida ao longo do fio: \Delta V_{\max}=0,01\\ \mathrm{V}.
  • As condutividades elétricas \sigma dos materiais foram fornecidas na tabela do enunciado (vou usar esses valores para comparar).

Passo 2

Relembrando as fórmulas que vamos usar (mini-aula rápida):
  • A resistência de um fio cilíndrico homogêneo está dada por
R=\rho\frac{L}{A},
onde \rho é a resistividade elétrica (unidade \Omega\cdot\mathrm{m}), L é o comprimento do fio e A sua área da secção transversal.
  • A condutividade \sigma é o inverso da resistividade:
\sigma=\frac{1}{\rho}.
  • A queda de tensão quando passa corrente I é
\Delta V=I R.
Queremos que \Delta V\le\Delta V_{\max}. Portanto a resistência máxima permitida é
R_{\max}=\frac{\Delta V_{\max}}{I}.
Explicando em palavras: primeiro encontro a resistência máxima que não ultrapassa a queda de tensão permitida; depois isso me dá um limite para a resistividade (ou, equivalentemente, um limite mínimo para a condutividade) do material, via R=\rho L/A.

Passo 3

Converto unidades e calculo R_{\max}:
  • d=3\\ \mathrm{mm}=0,003\\ \mathrm{m}.
  • L=300\\ \mathrm{mm}=0,3\\ \mathrm{m}.
  • \displaystyle R_{\max}=\frac{\Delta V_{\max}}{I}=\frac{0,01}{12}=0,000833333\\ \Omega. Vou manter como fração útil: \displaystyle R_{\max}=\frac{1}{1200}\\ \Omega\approx8{,}333\cdot10^{-4}\\ \Omega.

Passo 4

Calculo a área da secção transversal do fio (círculo) e explico cada termo:
  • Área de um círculo: A=\dfrac{\pi d^{2}}{4}, onde d é o diâmetro.
  • Substituindo d=0,003\\ \mathrm{m}:
A=\frac{\pi (0,003)^{2}}{4}=\pi\cdot\frac{9{,}0\cdot10^{-6}}{4}=\pi\cdot2{,}25\cdot10^{-6}.
Calculando numericamente:
A\approx 3{,}14159265\cdot2{,}25\cdot10^{-6}\approx7{,}0686\cdot10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 5

Achar a resistividade máxima permitida \rho_{\max}:
  • A partir de R=\rho L/A temos \rho=R\,A/L. Portanto
\rho_{\max}=R_{\max}\frac{A}{L}.
  • Substituindo os valores numéricos:
\rho_{\max}=\left(8{,}333\cdot10^{-4}\right)\frac{7{,}0686\cdot10^{-6}}{0{,}3}.
Faço em duas etapas:
R_{\max}\cdot A\approx 8{,}333\cdot10^{-4}\times7{,}0686\cdot10^{-6}\approx5{,}8905\cdot10^{-9}\\ \Omega\cdot\mathrm{m},
\rho_{\max}\approx\frac{5{,}8905\cdot10^{-9}}{0{,}3}\approx1{,}9635\cdot10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.
Interpretação: o material do fio deve ter resistividade menor ou igual a \rho_{\max} para que a queda de tensão não passe de 0,01\\ \mathrm{V}.

Passo 6

Converter para condutividade mínima exigida e explicar:
  • Como \sigma=1/\rho, a condutividade mínima exigida é
\sigma_{\min}=\frac{1}{\rho_{\max}}\approx\frac{1}{1{,}9635\cdot10^{-8}}\approx5{,}093\cdot10^{7}\\ (\Omega\cdot\mathrm{m})^{-1}.
Ou seja, só materiais com \sigma\ge\sigma_{\min}\approx5{,}09\cdot10^{7}\\ (\Omega\cdot\mathrm{m})^{-1} atendem à condição.

Passo 7

Comparação com a tabela (estou usando explicitamente as condutividades que vieram na tabela do enunciado):
  • Prata: \sigma=6{,}8\cdot10^{7}. Como 6{,}8\cdot10^{7}\ge5{,}09\cdot10^{7}, atende.
  • Cobre: \sigma=6{,}0\cdot10^{7}. Como 6{,}0\cdot10^{7}\ge5{,}09\cdot10^{7}, atende.
  • Ouro: \sigma=4{,}3\cdot10^{7}. Não atende ( 4{,}3\cdot10^{7}<5{,}09\cdot10^{7}).
  • Alumínio: \sigma=3{,}8\cdot10^{7}. Não atende.
  • Latão (70Cu-30Zn): \sigma=1{,}6\cdot10^{7}. Não atende.
  • Ferro: \sigma=1{,}0\cdot10^{7}. Não atende.
  • Platina: \sigma=0{,}94\cdot10^{7}=9{,}4\cdot10^{6}. Não atende.
  • Aço-carbono: \sigma=0{,}6\cdot10^{7}=6{,}0\cdot10^{6}. Não atende.
  • Aço inoxidável: \sigma=0{,}2\cdot10^{7}=2{,}0\cdot10^{6}. Não atende.
Comentário prático e verificação rápida (opcional, para ganhar confiança): usando os valores acima calcula-se a queda real para cobre:
  • \rho_{\text{Cu}}=1/\sigma_{\text{Cu}}=1/(6{,}0\cdot10^{7})\approx1{,}6667\cdot10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.
  • R_{\text{Cu}}=\rho_{\text{Cu}}L/A\approx\frac{1{,}6667\cdot10^{-8}\cdot0{,}3}{7{,}0686\cdot10^{-6}}\approx7{,}07\cdot10^{-4}\\ \Omega.
  • \Delta V_{\text{Cu}}=I R_{\text{Cu}}\approx12\times7{,}07\cdot10^{-4}\approx0{,}00849\\ \mathrm{V}<0{,}01\\ \mathrm{V}. Portanto cobre satisfaz a restrição com folga. Mesmo raciocínio para prata dá queda ainda menor.

Resposta

Prata
Cobre

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