Sabe-se que um semicondutor do tipo n possui uma concentração de elétrons de 5.10^{17} \mathrm{~m}^{-3}. Se a velocidade de arraste do elétron é de 350 \mathrm{~m} / \mathrm{s} em um campo elétrico de 1000 \mathrm{~V} / \mathrm{m}, calcule a condutividade desse material.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá.
  • Pedido: calcular a condutividade do material (ou seja, a condutividade elétrica \sigma).
  • Dados fornecidos:
    • concentração de elétrons: n = 5\times10^{17}\\ \mathrm{m^{-3}}.
    • velocidade de arraste do elétron (velocidade de deriva): v_d = 350\\ \mathrm{m\\ s^{-1}}.
    • campo elétrico aplicado: E = 1000\\ \mathrm{V\\ m^{-1}}.
  • Informação física implícita usada: semicondutor do tipo n significa que a condução é dominada por elétrons; portanto podemos usar apenas a contribuição dos elétrons para a condutividade.

Passo 2

Fórmula básica e significado das grandezas.
  • A condutividade elétrica total, quando apenas os elétrons contribuem de modo relevante, é
\sigma = q\,n\,\mu,
onde:
  • \sigma é a condutividade (unidade: \mathrm{S\\ m^{-1}}, siemens por metro);
  • q é a carga elementar do elétron, q = 1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C} (nota: o sinal é negativo para o elétron, mas usamos o valor absoluto da carga quando calculamos a condutividade);
  • n é a concentração de elétrons (unidade: \mathrm{m^{-3}});
  • \mu é a mobilidade dos elétrons (unidade: \mathrm{m^2\\ V^{-1}\\ s^{-1}}).
  • Relação entre velocidade de arraste e mobilidade:
v_d = \mu\,E \quad\Rightarrow\quad \mu = \frac{v_d}{E}.
Aqui v_d é a velocidade média que os elétrons adquirem sob o campo E.

Passo 3

Calcular a mobilidade a partir de v_d e E.
  • Usando \mu = \dfrac{v_d}{E}:
\mu = \frac{350}{1000}\\ \mathrm{m^2\\ V^{-1}\\ s^{-1}} = 0{,}35\\ \mathrm{m^2\\ V^{-1}\\ s^{-1}}.
  • Interpretação: isso significa que, para cada volt por metro de campo aplicado, o elétron adquire em média 0{,}35\\ \mathrm{m\\ s^{-1}} de velocidade de deriva.

Passo 4

Calcular o produto q\,n (para depois multiplicar por \mu).
  • Multiplicando a carga pela concentração:
q\,n = \left(1{,}602\times10^{-19}\right)\left(5\times10^{17}\right)\\ \mathrm{C\\ m^{-3}}.
  • Fazendo as contas:
1{,}602\times5 = 8{,}01, \qquad 10^{-19}\times10^{17}=10^{-2},
portanto
q\,n = 8{,}01\times10^{-2}\\ \mathrm{C\\ m^{-3}} = 0{,}0801\\ \mathrm{C\\ m^{-3}}.

Passo 5

Calcular a condutividade \sigma = q n \mu.
  • Substituindo q n = 8{,}01\times10^{-2}\\ \mathrm{C\\ m^{-3}} e \mu = 0{,}35\\ \mathrm{m^2\\ V^{-1}\\ s^{-1}}:
\sigma = 8{,}01\times10^{-2}\times0{,}35\\ \mathrm{S\\ m^{-1}}.
  • Multiplicando:
8{,}01\times0{,}35 = 2{,}8035, \qquad \text{e mantendo a potência }10^{-2}\Rightarrow \sigma = 2{,}8035\times10^{-2}\\ \mathrm{S\\ m^{-1}}.ê
  • Arredondando razoavelmente (duas casas significativas compatíveis com os dados):
\sigma \approx 2{,}80\times10^{-2}\\ \mathrm{S\\ m^{-1}}.

Resposta

\sigma \approx 2{,}80\times10^{-2}\\ \mathrm{S\\ m^{-1}}

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