Um fio ocupa a circunferência
com densidade constante
. Encontre a massa.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O fio ocupa a circunferência
. - A densidade linear (constante) do fio é
. - O que se pede: encontrar a massa total do fio.
Passo 2
Entendendo o conceito e a fórmula que vamos usar.
- Densidade linear
significa massa por unidade de comprimento do fio: em cada pedaço de fio de comprimento há uma massa . - A massa total do fio é a soma (integral) dessas massas ao longo da curva
que descreve o fio. Logo a fórmula geral é
- Como
é constante, isso simplifica para
onde
é o comprimento total da curva (a circunferência).
Passo 3
Parametrização da circunferência e cálculo do elemento de arco
.
- Uma parametrização padrão da circunferência de raio
é
com
variando de
até
para percorrer toda a circunferência uma vez.
- Calculamos as derivadas:
- O elemento de arco é dado por
Portanto, ao parametrizar por
, temos
.
Passo 4
Avaliação da integral da massa.
- Usando
com e sobre ,
- Uma interpretação alternativa (mais direta): o comprimento da circunferência de raio
é . Como é constante, . Ambas as abordagens dão o mesmo resultado.