Um fio ocupa a circunferência x^{2}+y^{2}=1 com densidade constante \rho=3. Encontre a massa.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O fio ocupa a circunferência x^{2}+y^{2}=1.
  • A densidade linear (constante) do fio é \rho=3.
  • O que se pede: encontrar a massa total do fio.

Passo 2

Entendendo o conceito e a fórmula que vamos usar.
  • Densidade linear \rho significa massa por unidade de comprimento do fio: em cada pedaço de fio de comprimento ds há uma massa \rho\,ds.
  • A massa total do fio é a soma (integral) dessas massas ao longo da curva C que descreve o fio. Logo a fórmula geral é
m=\int_{C}\rho\,ds.
  • Como \rho é constante, isso simplifica para
m=\rho\int_{C}ds=\rho\cdot L\text{(C)},
onde L\text{(C)} é o comprimento total da curva (a circunferência).

Passo 3

Parametrização da circunferência e cálculo do elemento de arco ds.
  • Uma parametrização padrão da circunferência de raio 1 é
x(t)=\cos t,\qquad y(t)=\sin t,
com t variando de 0 até 2\pi para percorrer toda a circunferência uma vez.
  • Calculamos as derivadas:
\frac{dx}{dt}=-\sin t,\qquad \frac{dy}{dt}=\cos t.
  • O elemento de arco é dado por
ds=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}\,dt =\sqrt{\sin^{2}t+\cos^{2}t}\,dt=\sqrt{1}\,dt=dt.
Portanto, ao parametrizar por t, temos ds=dt.

Passo 4

Avaliação da integral da massa.
  • Usando m=\int_{C}\rho\,ds com \rho=3 e ds=dt sobre t\in[0,2\pi],
m=\int_{0}^{2\pi}3\;dt=3\bigl[t\bigr]_{0}^{2\pi}=3\cdot(2\pi-0)=6\pi.
  • Uma interpretação alternativa (mais direta): o comprimento da circunferência de raio 1 é L\text{(C)}=2\pi. Como \rho é constante, m=\rho L\text{(C)}=3\cdot 2\pi=6\pi. Ambas as abordagens dão o mesmo resultado.

Resposta

6\pi

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