Encontre o comprimento da curva \mathbf{r}(t)=\left(t, t^{2}\right), 0 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica \mathbf{r}(t)=\big(t,\;t^{2}\big) para 0\le t\le1 e pede o comprimento dessa curva no intervalo de parâmetro indicado.
Informações relevantes:
  • A função vetor é \mathbf{r}(t)=\big(t,\;t^{2}\big).
  • O intervalo do parâmetro é t\in[0,1].
  • O que se pede: o comprimento da curva entre t=0 e t=1.

Passo 2

Fórmula que vamos usar: o comprimento de uma curva parametrizada por \mathbf{r}(t), para t entre a e b, é
L=\int_{a}^{b}\big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert\,dt.
Explicando: \mathbf{r}'(t) é a derivada vetor componente a componente (a velocidade da curva) e \big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert é o comprimento (norma) desse vetor em cada t. Integrando essa velocidade ao longo do intervalo obtemos o comprimento total da curva.

Passo 3

Calcular a derivada vetor \mathbf{r}'(t). Derivando componente a componente:
\mathbf{r}'(t)=\big( \tfrac{d}{dt}t,\; \tfrac{d}{dt}t^{2}\big)=\big(1,\;2t\big).
Agora a norma (comprimento) do vetor \mathbf{r}'(t) em coordenadas planas é a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes:
\big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert=\sqrt{1^{2}+(2t)^{2}}=\sqrt{1+4t^{2}}.

Passo 4

Substituindo na fórmula do comprimento, obtemos a integral
L=\int_{0}^{1}\sqrt{1+4t^{2}}\,dt.
Para facilitar a integração, fazemos a substituição linear u=2t. Então du=2\,dt, ou seja dt=\dfrac{du}{2}. Quando t=0 temos u=0; quando t=1 temos u=2. Assim
L=\int_{0}^{1}\sqrt{1+4t^{2}}\,dt=\frac{1}{2}\int_{0}^{2}\sqrt{1+u^{2}}\,du.

Passo 5

Precisamos de uma primitiva de \sqrt{1+u^{2}}. Uma antiderivada conhecida (e que pode ser verificada por diferenciação) é
\int\sqrt{1+u^{2}}\,du=\frac{1}{2}\Big(u\sqrt{1+u^{2}}+\ln\big(u+\sqrt{1+u^{2}}\big)\Big)+C.
Breve verificação (só para ganhar confiança): diferenciando a expressão do lado direito usando regra do produto e derivada do log verifica-se que a derivada é exatamente \sqrt{1+u^{2}}.
Usando essa primitiva no intervalo de 0 a 2, definindo
F(u)=\frac{1}{2}\Big(u\sqrt{1+u^{2}}+\ln\big(u+\sqrt{1+u^{2}}\big)\Big),
temos
\int_{0}^{2}\sqrt{1+u^{2}}\,du=F(2)-F(0).

Passo 6

Calcular F(2) e F(0):
F(2)=\frac{1}{2}\Big(2\sqrt{1+2^{2}}+\ln\big(2+\sqrt{1+2^{2}}\big)\Big) =\frac{1}{2}\Big(2\sqrt{5}+\ln(2+\sqrt{5})\Big).
F(0)=\frac{1}{2}\Big(0\cdot\sqrt{1+0^{2}}+\ln(0+\sqrt{1+0^{2}})\Big) =\frac{1}{2}\ln(1)=0.
Portanto
\int_{0}^{2}\sqrt{1+u^{2}}\,du=F(2)-F(0)=\frac{1}{2}\Big(2\sqrt{5}+\ln(2+\sqrt{5})\Big).
Voltando ao comprimento, lembrando do fator \tfrac{1}{2} que surgiu na substituição,
L=\frac{1}{2}\int_{0}^{2}\sqrt{1+u^{2}}\,du =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\Big(2\sqrt{5}+\ln(2+\sqrt{5})\Big).
Simplificando:
L=\frac{1}{4}\Big(2\sqrt{5}+\ln(2+\sqrt{5})\Big)=\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{4}\ln\big(2+\sqrt{5}\big).

Resposta

\dfrac{1}{2}\sqrt{5}+\dfrac{1}{4}\ln\big(2+\sqrt{5}\big)

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