Encontre o comprimento da curva \mathbf{r}(t)=\left(t, t^{2}\right), 0 \leq t \leq 1.
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica \mathbf{r}(t)=\big(t,\;t^{2}\big) para 0\le t\le1 e pede o comprimento dessa curva no intervalo de parâmetro indicado.
Informações relevantes:
A função vetor é \mathbf{r}(t)=\big(t,\;t^{2}\big).
O intervalo do parâmetro é t\in[0,1].
O que se pede: o comprimento da curva entre t=0 e t=1.
Passo 2
Fórmula que vamos usar: o comprimento de uma curva parametrizada por \mathbf{r}(t), para t entre a e b, é
Explicando: \mathbf{r}'(t) é a derivada vetor componente a componente (a velocidade da curva) e \big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert é o comprimento (norma) desse vetor em cada t. Integrando essa velocidade ao longo do intervalo obtemos o comprimento total da curva.
Passo 3
Calcular a derivada vetor \mathbf{r}'(t). Derivando componente a componente:
Substituindo na fórmula do comprimento, obtemos a integral
L=\int_{0}^{1}\sqrt{1+4t^{2}}\,dt.
Para facilitar a integração, fazemos a substituição linear u=2t. Então du=2\,dt, ou seja dt=\dfrac{du}{2}. Quando t=0 temos u=0; quando t=1 temos u=2. Assim
Breve verificação (só para ganhar confiança): diferenciando a expressão do lado direito usando regra do produto e derivada do log verifica-se que a derivada é exatamente \sqrt{1+u^{2}}.
Usando essa primitiva no intervalo de 0 a 2, definindo