Encontre o comprimento da circunferência
.
Passo 1
O enunciado pede o comprimento da circunferência dada por
.
Informações fornecidas:
- A equação
descreve uma circunferência centrada na origem. - O número
é o quadrado do raio; portanto o raio é uma informação implícita (não foi pedida, mas é necessária para achar o comprimento).
O que é pedido:
- Calcular o comprimento (perímetro) da circunferência correspondente à equação dada.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
- Para uma curva plana parametrizada por
no intervalo , o comprimento da curva é dado por
Expliquei cada parte:
-
e são as coordenadas da curva em função do parâmetro . -
e são as derivadas das coordenadas em relação ao parâmetro; elas representam as velocidades nas direções e . - A expressão
é a velocidade escalar da partícula que percorre a curva; integrar essa velocidade ao longo do tempo dá o comprimento total.
Passo 3
Escolher uma parametrização simples para a circunferência e justificar:
- Para a circunferência centrada na origem com raio
, uma parametrização muito conveniente é
com
variando de
a
. Por que isso funciona?
- Porque
, então
ou seja, a parametrização percorre exatamente a circunferência de raio
.
- No nosso caso, da equação
obtemos , portanto
Passo 4
Calcular as derivadas necessárias para a fórmula do comprimento:
- Derivando a parametrização em relação a
,
- Agora a soma dos quadrados das derivadas é
Passo 5
Simplificar usando identidade trigonométrica:
- Usando
, obtemos
- Portanto a raiz quadrada na integral do comprimento fica simplesmente
:
onde aqui tomamos a raiz positiva porque comprimento é sempre positivo.
Passo 6
Calcular a integral do comprimento para todo o percurso
:
- Substituindo na fórmula do Passo 2,
- Resultado geral: o comprimento de uma circunferência de raio
é .
Passo 7
Aplicar ao caso concreto
:
- Substituindo
na expressão ,
- Se quiser um valor aproximado,
, mas normalmente a resposta exata é preferível.