Encontre o comprimento da circunferência x^{2}+y^{2}=9.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da circunferência dada por x^{2}+y^{2}=9.
Informações fornecidas:
  • A equação x^{2}+y^{2}=9 descreve uma circunferência centrada na origem.
  • O número 9 é o quadrado do raio; portanto o raio é uma informação implícita (não foi pedida, mas é necessária para achar o comprimento).
O que é pedido:
  • Calcular o comprimento (perímetro) da circunferência correspondente à equação dada.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Para uma curva plana parametrizada por t\mapsto (x(t),y(t)) no intervalo t\in[a,b], o comprimento L da curva é dado por
L=\int_{a}^{b}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}\;dt.
Expliquei cada parte:
  • x(t) e y(t) são as coordenadas da curva em função do parâmetro t.
  • \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt} são as derivadas das coordenadas em relação ao parâmetro; elas representam as velocidades nas direções x e y.
  • A expressão \sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^{2}} é a velocidade escalar da partícula que percorre a curva; integrar essa velocidade ao longo do tempo dá o comprimento total.

Passo 3

Escolher uma parametrização simples para a circunferência e justificar:
  • Para a circunferência centrada na origem com raio r, uma parametrização muito conveniente é
x(t)=r\cos t,\qquad y(t)=r\sin t,
com t variando de 0 a 2\pi. Por que isso funciona?
  • Porque \cos^{2}t+\sin^{2}t=1, então
x(t)^{2}+y(t)^{2}=r^{2}\cos^{2}t+r^{2}\sin^{2}t=r^{2}(\cos^{2}t+\sin^{2}t)=r^{2},
ou seja, a parametrização percorre exatamente a circunferência de raio r.
  • No nosso caso, da equação x^{2}+y^{2}=9 obtemos r^{2}=9, portanto
r=3.

Passo 4

Calcular as derivadas necessárias para a fórmula do comprimento:
  • Derivando a parametrização em relação a t,
\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(r\cos t) = -r\sin t, \qquad \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(r\sin t) = r\cos t.
  • Agora a soma dos quadrados das derivadas é
\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}=(-r\sin t)^{2}+(r\cos t)^{2}=r^{2}\sin^{2}t+r^{2}\cos^{2}t.

Passo 5

Simplificar usando identidade trigonométrica:
  • Usando \sin^{2}t+\cos^{2}t=1, obtemos
r^{2}\sin^{2}t+r^{2}\cos^{2}t = r^{2}(\sin^{2}t+\cos^{2}t)=r^{2}.
  • Portanto a raiz quadrada na integral do comprimento fica simplesmente r:
\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}=\sqrt{r^{2}}=r,
onde aqui tomamos a raiz positiva porque comprimento é sempre positivo.

Passo 6

Calcular a integral do comprimento para todo o percurso t\in[0,2\pi]:
  • Substituindo na fórmula do Passo 2,
L=\int_{0}^{2\pi} r\;dt = r\int_{0}^{2\pi} dt = r\bigl[t\bigr]_{0}^{2\pi}=r\cdot 2\pi.
  • Resultado geral: o comprimento de uma circunferência de raio r é 2\pi r.

Passo 7

Aplicar ao caso concreto r=3:
  • Substituindo r=3 na expressão L=2\pi r,
L=2\pi\cdot 3 = 6\pi.
  • Se quiser um valor aproximado, 6\pi\approx 18,849, mas normalmente a resposta exata 6\pi é preferível.

Resposta

6\pi

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