A distância entre o objeto e uma lente convergente é 400 mm . A imagem é três vezes maior que o objeto. Para que a imagem seja cinco vezes maior que o objeto, a distância entre o objeto e a lente deve ser mudada para
◯ 360 mm
◯ 540 mm
◯ 600 mm
◯ 720 mm
◯ 960 mm

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta.
  • Distância entre o objeto e a lente inicialmente: u_1 = 400\\ \text{mm}.
  • A imagem inicial é três vezes maior que o objeto, ou seja, a ampliação (módulo) é |m_1| = 3.
  • Pergunta: para que a imagem seja cinco vezes maior que o objeto ( |m_2| = 5), qual deve ser a nova distância entre o objeto e a lente u_2?
  • Opções dadas: 360\\ \text{mm},\\\ 540\\ \text{mm},\\\ 600\\ \text{mm},\\\ 720\\ \text{mm},\\\ 960\\ \text{mm}.

Passo 2

Relembrando as fórmulas essenciais (explicando cada símbolo):
  • Fórmula da lente delgada (lente convergente, convensão de sinais: objetos à esquerda e imagens reais à direita são tomadas com distâncias positivas):
\frac{1}{f} = \frac{1}{u} + \frac{1}{v},
onde f é a distância focal da lente, u é a distância objeto–lente e v é a distância imagem–lente.
  • Relação da ampliação (magnificação):
m = -\frac{v}{u},
onde m é a razão altura da imagem sobre altura do objeto; o sinal negativo indica que uma imagem real está invertida em relação ao objeto. Aqui vamos usar os módulos |m|=\dfrac{v}{u} para obter distâncias.
Usando a condição inicial para achar a distância focal f. Da ampliação inicial temos:
v_1 = |m_1|\,u_1 = 3\cdot u_1.
Como u_1 = 400\\ \text{mm},
v_1 = 3\cdot 400\\ \text{mm} = 1200\\ \text{mm}.
Agora aplicando a fórmula da lente para os valores iniciais:
\frac{1}{f} = \frac{1}{u_1} + \frac{1}{v_1}.

Passo 3

Calcule f explicitamente:
\frac{1}{f} = \frac{1}{400\\ \text{mm}} + \frac{1}{1200\\ \text{mm}}.
Fazendo a soma:
\frac{1}{f} = \frac{3}{1200} + \frac{1}{1200} = \frac{4}{1200} = \frac{1}{300}.
Portanto
f = 300\\ \text{mm}.
Interpretação rápida: a lente tem distância focal 300\\ \text{mm}.

Passo 4

Agora queremos |m_2|=5. Usando |m_2|=\dfrac{v_2}{u_2} obtemos
v_2 = 5\,u_2.
Aplicando a equação da lente com f conhecido:
\frac{1}{f} = \frac{1}{u_2} + \frac{1}{v_2} = \frac{1}{u_2} + \frac{1}{5u_2} = \frac{6}{5u_2}.
Então
\frac{1}{f} = \frac{6}{5u_2}\quad\Longrightarrow\quad u_2 = \frac{6}{5}\,f.
Substituindo f = 300\\ \text{mm}:
u_2 = \frac{6}{5}\cdot 300\\ \text{mm} = 6\cdot 60\\ \text{mm} = 360\\ \text{mm}.

Passo 5

Verificação mental rápida: como a ampliação aumentou de 3 para 5, a imagem relativa ao objeto passou a exigir uma razão v/u maior; mantendo a mesma lente (mesmo f), o objeto precisa se aproximar um pouco da lente (de 400\\ \text{mm} para 360\\ \text{mm}), o que faz v crescer mais rápido e produz a ampliação desejada. Isso bate com o cálculo.

Resposta

360 mm

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