I- Fios de cobre em edifícios residenciais têm uma área de 3,31 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^{2}, conduzindo uma corrente de 10 A . Sabendo que a densidade do cobre é 8,95 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}, determine a velocidade de deriva dos elétrons.

Passo 1

O enunciado dá um fio de cobre com área da seção transversal A=3,31\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2 conduzindo corrente I=10\\ \mathrm{A}. A densidade do cobre é fornecida como \rho_{\text{Cu}}=8,95\\ \mathrm{g/cm^3}. A pergunta é: determine a velocidade de deriva dos elétrons no fio.\n
Informações relevantes listadas:
\,A=3,31\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2 (área do fio)
\,I=10\\ \mathrm{A} (corrente elétrica)
\,\rho_{\text{Cu}}=8,95\\ \mathrm{g/cm^3} (densidade do cobre)
Além disso usaremos constantes conhecidas: número de Avogadro N_A=6,022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}, carga do elétron e=1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{C} e massa molar do cobre M_{\text{Cu}}\approx63,546\\ \mathrm{g/mol}. Não há outras perguntas no enunciado.

Passo 2

Vamos apresentar a fórmula que relaciona corrente elétrica com velocidade de deriva e explicar cada termo. Em um fio a corrente I pode ser escrita como
I = n\, e\, v_d\, A,
onde:
  • \,n é a densidade numérica de elétrons livres (número de elétrons por metro cúbico, \mathrm{m^{-3}});
  • \,e é a carga elementar do elétron ( 1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{C});
  • \,v_d é a velocidade de deriva (o que queremos encontrar, em \mathrm{m/s});
  • \,A é a área da seção transversal do fio ( \mathrm{m^2}).
Isolando v_d, obtemos
v_d = \frac{I}{n\, e\, A}.
Explicação física curta e didática: cada elétron carrega carga -e; se, por unidade de volume, existem n elétrons, então em um volume que atravessa a seção A em tempo dt a carga total transportada é n\,e\,v_d\,A\,dt. Dividindo por dt chega-se à fórmula da corrente.

Passo 3

Agora precisamos calcular n, a densidade de elétrons livres do cobre. Para isso usamos a relação entre densidade macroscópica, massa molar e número de Avogadro. Supondo que cada átomo de cobre contribui com z=1 elétron livre (condição usual para Cu), temos
n = \frac{\rho_{\text{Cu}}}{M_{\text{Cu}}} \, N_A \, z.
Vamos converter unidades e calcular passo a passo.
Dado \rho_{\text{Cu}}=8,95\\ \mathrm{g/cm^3}. Converter para \mathrm{kg/m^3}:
8,95\\ \mathrm{g/cm^3} = 8,95\times10^{3}\\ \mathrm{kg/m^3} = 8950\\ \mathrm{kg/m^3}.
Massa molar do cobre M_{\text{Cu}}=63,546\\ \mathrm{g/mol} = 0,063546\\ \mathrm{kg/mol}.
Agora calcule a fração de mols por metro cúbico:
\frac{\rho_{\text{Cu}}}{M_{\text{Cu}}} = \frac{8950}{0,063546}\\ \mathrm{mol/m^3}.
Faço a divisão:
\frac{8950}{0,063546}\approx 1,4080\times10^{5}\\ \mathrm{mol/m^3}.
Multiplicando por N_A e por z=1:
n = 1,4080\times10^{5}\times 6,022\times10^{23}\\ \mathrm{m^{-3}}
n \approx 8,482\times10^{28}\\ \mathrm{m^{-3}}.
Comentário didático: esse valor diz que há algo da ordem de 10^{29} elétrons condutores por metro cúbico em um metal típico — muito, muito grande, por isso a velocidade de deriva costuma ser pequena.

Passo 4

Agora usamos a fórmula de v_d. Temos todos os valores:
I=10\\ \mathrm{A},\quad n\approx 8,482\times10^{28}\\ \mathrm{m^{-3}},\quad e=1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{C},\quad A=3,31\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2}.
Calculemos o produto n\,e\,A cuidadosamente:
n\,e = 8,482\times10^{28}\times 1,602\times10^{-19} \approx 1,3596\times10^{10}\\ \mathrm{m^{-3}C}.
Agora multiplica por A:
n\,e\,A \approx 1,3596\times10^{10}\times 3,31\times10^{-6} \approx 4,498\times10^{4}\\ \mathrm{C/m\cdot s?}
(essa grandeza no denominador tem unidade tal que I/(n e A) \mathrm{m/s}; o importante aqui é o valor numérico).

Passo 5

Finalmente:
v_d = \frac{I}{n\, e\, A} \approx \frac{10}{4,498\times10^{4}}\\ \mathrm{m/s} \approx 2,22\times10^{-4}\\ \mathrm{m/s}.
Converter para unidades mais fáceis de visualizar: 2,22\times10^{-4}\\ \mathrm{m/s} = 0,222\\ \mathrm{mm/s}, ou cerca de 222\\ \mu\mathrm{m/s}. Isso mostra que os elétrons se movem bem devagar em termos macroscópicos — apesar da corrente elétrica se propagar quase instantaneamente pela onda eletromagnética.

Resposta

v_d \approx 2,22\times10^{-4}\\ \mathrm{m/s}

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