Uma firma fabrica dois produtos: A e B. Cada um deles passa por duas máquinas: I e I I. Para se fabricar uma unidade de A gasta-se 1 h da máquina I e 1,5 h da máquina I I. Cada unidade de B gasta 3 h de I e 2 h de I I. Quantas unidades de cada produto poderão ser fabricadas em um mês se, por motivos técnicos, I só funciona 300 horas e I I só 250 horas por mês?
23. Dois metais x e y são obtidos de dois tipos de minérios I e I I. De 100 Kg de I se obtém 3 gramas de x e 5 gramas de y e de 100 Kg de I I obtém-se 4 gramas de x e 2,5 gramas de y. Quantos quilos de minério de cada tipo serão necessários para se obter 72 gramas de x e 95 gramas de y, usando-se simultaneamente os dois minérios?
24. Três pessoas jogam juntas. Na primeira rodada a primeira perde para cada um dos outros dois a mesma quantia que cada um deles tinha no início do jogo. Na segunda rodada, a segunda pessoa perde para cada um dos outros a mesma quantia que eles tinham no final da 1 a rodada. Na terceira rodada, o 1 ㅇ e o 2 ㅇ jogadores ganham do 3 ㅇ a mesma quantia que cada um tinha no final da segunda rodada. Neste momento, os jogadores verificaram que cada um deles possui R \ 24,00$. Quanto cada jogador tinha ao começar o jogo?

Passo 1

Definimos x o número de unidades do produto A e y o número de unidades do produto B. A máquina I tem 300 horas disponíveis e a máquina II tem 250 horas. Cada unidade de A consome 1 hora em I e 1{,}5 horas em II; cada unidade de B consome 3 horas em I e 2 horas em II.

Passo 2

Traduzimos as restrições em inequações lineares:
\begin{cases} 1\cdot x + 3\cdot y \le 300,\\\\ 1{,}5\cdot x + 2\cdot y \le 250,\\\ x\ge 0,\;y\ge 0. \end{cases}

Passo 3

Para usar completamente ambas as máquinas, igualamos as duas restrições:
\begin{cases} x + 3y = 300,\\\\ 1{,}5\,x + 2y = 250. \end{cases}
Da primeira x = 300 - 3y. Substituindo na segunda:
1{,}5\,(300 - 3y) + 2y = 250 \;\Longrightarrow\; 450 - 4{,}5y + 2y = 250 \;\Longrightarrow\; -2{,}5y = -200 \;\Longrightarrow\; y = 80.
Então x = 300 - 3\cdot80 = 60.

Passo 4

Sejam t e u (em kg) as quantidades dos minérios I e II. De cada 1,kg de minério I obtém-se 0{,}03,g de x e 0{,}05,g de y; de cada 1,kg de minério II obtém-se 0{,}04,g de x e 0{,}025,g de y. Queremos 72,g de x e 95,g de y.

Passo 5

Montamos o sistema:
\begin{cases} 0{,}03\,t + 0{,}04\,u = 72,\\\\ 0{,}05\,t + 0{,}025\,u = 95. \end{cases}
Multiplicando a primeira por 100 obtemos 3t + 4u = 7200; a segunda por 100 5t + 2{,}5u = 9500.

Passo 6

Resolvendo
3t + 4u = 7200,\quad 5t + 2{,}5u = 9500,
podemos, por exemplo, multiplicar a segunda por 2 e eliminar t. O cálculo resulta em u = 600 e então t = \frac{7200 - 4\cdot600}{3} = 1600.

Passo 7

Chamemos M_1, M_2, M_3 as quantias iniciais dos jogadores 1, 2 e 3. Após cada rodada atualizamos os saldos conforme o enunciado e, ao final, cada um tem R\$24.

Passo 8

Após a 1ª rodada:
A_1 = M_1 - M_2 - M_3,\quad A_2 = 2M_2,\quad A_3 = 2M_3.
Após a 2ª rodada, o jogador 2 paga A_1 ao 1 e A_3 ao 3:
B_1 = 2A_1,\quad B_2 = 2M_2 - A_1 - A_3,\quad B_3 = 2A_3.

Passo 9

Na 3ª rodada o jogador 3 paga B_1 ao 1 e B_2 ao 2:
C_1 = 2B_1,\quad C_2 = 2B_2,\quad C_3 = B_3 - B_1 - B_2.
Como C_1 = C_2 = C_3 = 24, temos B_1 = B_2 = 12 e B_3 = 48. De B_1=2(M_1 - M_2 - M_3)=12 vem M_1 - M_2 - M_3 = 6. De B_2 = 3M_2 - M_1 - M_3 = 12 e de B_3 = 4M_3 = 48 segue M_3 = 12, depois M_2 = 21 e M_1 = 39.

Resposta

Jogador 1 tinha R\$39, jogador 2 tinha R\$21 e jogador 3 tinha R\$12.

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