Calcule a integral imprópria:
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{9+x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{9+x^{2}}\,dx.
Este tipo de integral usa o fato de que a primitiva de \frac{1}{a^2+x^2} é \frac{1}{a}\arctan\!\bigl(\frac{x}{a}\bigr). Vamos então escrever a integral como limite, achar a antiderivada e avaliar nos limites.

Passo 2

Escrevemos a integral imprópria como limite simétrico:
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{9+x^{2}}\,dx =\lim_{A\to\infty}\int_{-A}^{A}\frac{1}{9+x^{2}}\,dx.

Passo 3

Calcular a antiderivada de \frac{1}{9+x^{2}}. Como aqui a^{2}=9 e a=3, vale a fórmula
\int \frac{dx}{9+x^{2}} =\frac{1}{3}\arctan\!\biggl(\frac{x}{3}\biggr)+C.

Passo 4

Usando essa primitiva, a integral de -A a A é
\int_{-A}^{A}\frac{1}{9+x^{2}}\,dx =\frac{1}{3}\arctan\!\biggl(\frac{x}{3}\biggr)\Biggr|_{x=-A}^{x=A} =\frac{1}{3}\Bigl[\arctan\!\bigl(\tfrac{A}{3}\bigr)-\arctan\!\bigl(-\tfrac{A}{3}\bigr)\Bigr].

Passo 5

Agora fazemos A\to\infty. Sabemos que \arctan(t)\to\frac{\pi}{2} quando t\to+\infty e \arctan(-t)\to-\frac{\pi}{2}. Logo
\lim_{A\to\infty}\Bigl[\arctan\!\bigl(\tfrac{A}{3}\bigr)-\arctan\!\bigl(-\tfrac{A}{3}\bigr)\Bigr] =\frac{\pi}{2}-\bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\pi.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{3} dá o valor final.

Resposta

\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{9+x^{2}}\,dx = \frac{\pi}{3}.

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