Calcule a integral imprópria:
\int_{0}^{5} \frac{x}{\sqrt{25-x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{5}\frac{x}{\sqrt{25 - x^{2}}}\,dx.
Aqui há uma singularidade quando x\to5 porque \sqrt{25 - x^{2}}\to0. O conteúdo é integração por substituição de variável e avaliação de integral imprópria via limite.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
u = 25 - x^{2}, \quad du = -2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = -\tfrac12\,du.
Quando x vai de 0 a 5, u vai de 25 a 0. A integral torna-se
\int_{0}^{5}\frac{x}{\sqrt{25 - x^{2}}}\,dx = \int_{25}^{0}\frac{-\tfrac12\,du}{\sqrt{u}} = -\tfrac12\int_{25}^{0}u^{-\tfrac12}\,du.

Passo 3

Invertemos os limites para eliminar o sinal negativo:
-\tfrac12\int_{25}^{0}u^{-\tfrac12}\,du = \tfrac12\int_{0}^{25}u^{-\tfrac12}\,du.
Sabendo que
\int u^{-\tfrac12}\,du = 2u^{\tfrac12}+C,
temos
\tfrac12\int_{0}^{25}u^{-\tfrac12}\,du = \tfrac12\bigl[2u^{\tfrac12}\bigr]_{0}^{25} = \bigl[\sqrt{u}\bigr]_{0}^{25} = \sqrt{25}-\sqrt{0}=5.

Resposta

O valor da integral imprópria é 5.

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