Calcule a integral imprópria: \int_{0}^{5} \frac{x}{\sqrt{25-x^{2}}} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{5}\frac{x}{\sqrt{25 - x^{2}}}\,dx.
Aqui há uma singularidade quando x\to5 porque \sqrt{25 - x^{2}}\to0. O conteúdo é integração por substituição de variável e avaliação de integral imprópria via limite.
Passo 2
Fazemos a mudança de variável
u = 25 - x^{2}, \quad du = -2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = -\tfrac12\,du.
Quando x vai de 0 a 5, u vai de 25 a 0. A integral torna-se