Um fiscal de Imposto de Renda pretende estimar a proporção de declarações com devolução de um grupo de 500 declarações de certa categoria profissional. Para isto, selecionou ao acaso, 50 declarações e verificou que 20 delas solicitavam devolução. Determine o tamanho da amostra necessário para estimar a proporção de declarações com devolução neste grupo, com nível de confiança de 90 \% e erro máximo de 5 \%.

Passo 1

O enunciado diz que há uma população finita de N=500 declarações e que, num levantamento piloto de tamanho n_0=50, foram encontradas x=20 declarações com devolução. Queremos determinar, para essa população, o tamanho de amostra n tal que o intervalo de confiança de nível 90\% para a proporção apresente erro máximo E=0,05. Vamos usar:
– A estimativa preliminar de proporção \hat p.
– A quantil z de uma normal padrão para 90\%.
– A fórmula de tamanho de amostra para proporção com correção para população finita.

Passo 2

Calcular a proporção estimada no preparo da fórmula:
\hat p = \frac{x}{n_0} = \frac{20}{50} = 0{,}4,
e a proporção complementar
\hat q = 1 - \hat p = 0{,}6.

Passo 3

Para nível de confiança 90\%, o valor crítico da normal padrão é
z = 1{,}645.

Passo 4

Primeiro calculamos o tamanho de amostra para população infinita, que é
n_{\infty} = \frac{z^2\,\hat p\,\hat q}{E^2} = \frac{(1{,}645)^2 \times 0{,}4 \times 0{,}6}{(0{,}05)^2} \approx 259{,}78.

Passo 5

Agora aplicamos a correção para população finita N=500. Uma fórmula comum é
n = \frac{n_{\infty}}{1 + \dfrac{n_{\infty}}{N}}.
Substituindo os valores,
n = \frac{259{,}78}{1 + \dfrac{259{,}78}{500}} \approx 171{,}06.
Como precisamos de ao menos esse tamanho para garantir o erro máximo, arredondamos para cima:

Resposta

n = 172.

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