Numa pesquisa de mercado, 400 pessoas foram entrevistadas sobre sua preferência por determinado produto. Destas 400 pessoas, 240 disseram preferir o produto. Determinar um intervalo de confiança de 95 \% de probabilidade para o percentual de preferência dos consumidores em geral para este produto.

Passo 1

O enunciado pede um intervalo de confiança de 95 % para a proporção verdadeira p de consumidores que preferem o produto, com base numa amostra de tamanho n=400 e x=240 “sucessos” (pessoas que disseram preferir). O conteúdo é intervalo de confiança para proporção em amostra grande, usando aproximação normal.

Passo 2

Calcular a proporção amostral \hat p e seu erro-padrão.
\hat p = \frac{x}{n} = \frac{240}{400} = 0,6.
\mathrm{SE} = \sqrt{\frac{\hat p\,(1-\hat p)}{n}} = \sqrt{\frac{0,6\cdot0,4}{400}} = \sqrt{0,24/400} \approx 0,0245.

Passo 3

Para 95 % de confiança, o valor crítico da normal padrão é
z_{0,975} \approx 1,96.
A margem de erro é
\mathrm{ME} = z_{0,975}\times \mathrm{SE} = 1,96 \times 0,0245 \approx 0,048.

Passo 4

Construir o intervalo de confiança:
\hat p \pm \mathrm{ME} = 0,6 \pm 0,048 = [0,552,\;0,648].
Em termos percentuais, isso equivale a
[55,2\%,\,64,8\%].

Resposta

O intervalo de confiança de 95 % para o percentual de preferência é de 55,2 % a 64,8 %.

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