*18. Um átomo de hidrogênio emite um fóton que tem uma quantidade de movimento com um módulo igual a 5,452 \times 10^{-27} \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Esse fóton é emitido porque o elétron no átomo cai de um nível de energia mais elevado para o nível n=1. Qual o número quântico do nível de onde o elétron cai? Use um valor de 6,626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \cdot \mathrm{~s} para a constante de Planck.

Passo 1

O enunciado dá o módulo do momento linear do fóton emitido por um átomo de hidrogênio
p = 5{,}452 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg\cdot m/s},
sendo que esse fóton sai quando o elétron cai de um nível n_i para o nível n_f=1.
Precisamos usar:
  1. A relação entre o momento e a energia do fóton: E = p\,c.
  2. A expressão das energias dos níveis do átomo de hidrogênio
E_n = -\frac{2{,}179\times10^{-18}\,\mathrm{J}}{n^2}
e a diferença entre E_1 e E_{n_i}.

Passo 2

Calcular a energia do fóton usando
E = p\,c,
onde usamos c = 3{,}00\times10^8\,\mathrm{m/s}.
E = (5{,}452\times10^{-27})(3{,}00\times10^8) =1{,}636\times10^{-18}\,\mathrm{J}.

Passo 3

A energia emitida ao cair de n_i para 1 é
E = E_1 - E_{n_i} = -\frac{2{,}179\times10^{-18}}{1^2} - \Bigl(-\frac{2{,}179\times10^{-18}}{n_i^2}\Bigr) =2{,}179\times10^{-18}\Bigl(1 - \frac{1}{n_i^2}\Bigr).
Igualamos essa expressão à energia do fóton calculada:

Passo 4

2{,}179\times10^{-18}\Bigl(1 - \frac{1}{n_i^2}\Bigr) =1{,}636\times10^{-18} \quad\Longrightarrow\quad 1 - \frac{1}{n_i^2} = \frac{1{,}636}{2{,}179} \approx 0{,}75.
Logo
\frac{1}{n_i^2} = 1 - 0{,}75 = 0{,}25 \quad\Longrightarrow\quad n_i^2 = 4 \quad\Longrightarrow\quad n_i = 2.

Resposta

n_i = 2

Exercícios de Livros Relacionados