S Um átomo isolado de determinado elemento emite luz de comprimento de onda lambdam 1 quando cai do estado com número quântico m para o fundamental de número quântico 1. O átomo emite um fóton de comprimento de onda lambdan 1 quando cai do estado com número quântico n para o fundamental. (a) Determine o comprimento de onda da luz irradiada quando o átomo faz uma transição do estado m para o n. (b) Demonstre que km n=|km 1-kn 1|, onde ki j=2 pi / lambdai j é o número de onda do fóton. Este problema exemplifica o princípio da combinação de Ritz, uma regra empírica formulada em 1908.

Passo 1

O enunciado diz que um átomo emite luz de comprimento de onda lambdam1 ao passar do nível m para o fundamental 1, e de comprimento de onda lambdan1 ao passar do nível n para 1. Queremos (a) o comprimento de onda lambdamn emitido na transição mto n e (b) mostrar que os números de onda obedeçam
kmn=l|km1-kn1r|,
onde kij=2pi/lambdaij. Vamos usar a relação energia do fóton E=h c/lambda e a linearidade dessa relação.

Passo 2

Para cada transição ito1 a energia do fóton é
Ei1 = h,c,1lambdai1,
para i=m ou i=n. Na transição mto n, a energia do fóton é a diferença das duas energias acima, pois o estado m está mais alto que n.

Passo 3

Escrevendo essa diferença,
Emn ;=; Em1 - En1 ;=; h,cl(tfrac1lambdam1 - tfrac1lambdan1r)

Passo 4

Mas também vale Emn = h,c,(1/lambdamn). Igualando as duas expressões para Emn, obtemos
1lambdamn = 1lambdam1 - 1lambdan1

Passo 5

Invertendo essa relação e tomando valor absoluto para garantir lambdamn>0, obtemos
lambdamn = 1l|tfrac1lambdam1 - tfrac1lambdan1r| = lambdam1,lambdan1l|lambdan1-lambdam1r|

Passo 6

Definimos o número de onda de cada fóton como
kij = 2pilambdaij
Logo para a transição mto n:
kmn = 2pilambdamn = 2pi ,l|lambdan1-lambdam1r|lambdam1,lambdan1

Passo 7

Repare que
2pilambdam1 = km1 , 2pilambdan1 = kn1,
portanto
kmn = l|,kn1 - km1r| = l|,km1 - kn1r|
Isto demonstra o princípio de combinação de Ritz.

Resposta

(a) lambdamn = lambdam1,lambdan1l|lambdan1-lambdam1r|
(b) kmn = l|,km1 - kn1r|

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