Uma balsa transporta turistas entre três ilhas. Ela navega da primeira ilha para a segunda a de distância, em uma direçāo a norte do leste. Em seguida, navega da segunda ilha para a terceira em uma direção a oeste do norte. Finalmente, ela retorna para a primeira ilha, navegando em uma direção a leste do sul. Calcule a distância entre (b) a primeira e a terceira ilhas.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma balsa que viaja entre três ilhas:
  1. Primeira Ilha para a Segunda Ilha: 4,76 km na direção 37,0° a norte do leste.
  2. Segunda Ilha para a Terceira Ilha: direção 69,0° a oeste do norte.
  3. Terceira Ilha para a Primeira Ilha: direção 28,0° a leste do sul.
Queremos calcular a distância entre a Primeira e a Terceira Ilha.
Matéria envolvida: Vetores e trigonometria, especialmente decomposição de vetores em componentes e leis dos cossenos.
Vamos precisar:
  • Decompor as direções angulares em componentes x (leste-oeste) e y (norte-sul).
  • Utilizar as leis dos cossenos ou a soma vetorial para encontrar a distância solicitada.

Passo 2

Primeiro, vamos representar cada trecho da viagem como vetores com suas componentes x e y.
Trecho 1: 4,76 km a 37,0° a norte do leste.
  • Componente x:
  • Componente y:
Trecho 2: Direção 69,0° a oeste do norte.
Aqui, não foi fornecida a distância. Vamos chamar essa distância de .
  • A direção 69,0° a oeste do norte significa 69° a partir do norte em direção ao oeste.
  • Componente x: (negativo porque é para o oeste)
  • Componente y:
Trecho 3: Direção 28,0° a leste do sul.
Retornando para a primeira ilha.
  • A direção 28,0° a leste do sul significa 28° a partir do sul em direção ao leste.
  • Componente x: (positivo porque é para o leste)
  • Componente y: (negativo porque é para o sul)
Como a balsa retorna à primeira ilha, a soma das componentes x e y deve ser zero.

Passo 3

Vamos somar as componentes x e y:
Soma das componentes x:
Soma das componentes y:
Aqui, temos duas equações com duas incógnitas ( e ). Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de e .

Passo 4

Vamos resolver as equações passo a passo.
Primeiro, calculamos os valores trigonométricos:
Substituindo na primeira equação:
çã
Na segunda equação:
çã

Passo 5

Agora, temos o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método da substituição ou da eliminação. Vamos optar pela eliminação.
Primeiro, multiplique a Equação 1 por 0,3584 e a Equação 2 por 0,9336 para igualar os coeficientes de :
Calculando:
çãçã
Agora, somamos as Equações 3 e 4 para eliminar :
Simplificando:
Resolvendo para :

Passo 6

Agora que encontramos km, substituímos esse valor em uma das equações anteriores para encontrar .
Usando a Equação 2:

Passo 7

Com os valores de e encontrados, podemos agora determinar a distância entre a Primeira e a Terceira Ilha.
A distância entre essas duas ilhas é justamente , que já calculamos como aproximadamente 6,13 km.

Resposta

A distância entre a primeira e a terceira ilhas é de aproximadamente 6,13 km.

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