Uma balsa transporta turistas entre três ilhas. Ela navega da primeira ilha para a segunda a
de distância, em uma direçāo
a norte do leste. Em seguida, navega da segunda ilha para a terceira em uma direção
a oeste do norte. Finalmente, ela retorna para a primeira ilha, navegando em uma direção
a leste do sul. Calcule a distância entre (b) a primeira e a terceira ilhas.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma balsa que viaja entre três ilhas:
- Primeira Ilha para a Segunda Ilha: 4,76 km na direção 37,0° a norte do leste.
- Segunda Ilha para a Terceira Ilha: direção 69,0° a oeste do norte.
- Terceira Ilha para a Primeira Ilha: direção 28,0° a leste do sul.
Queremos calcular a distância entre a Primeira e a Terceira Ilha.
Matéria envolvida: Vetores e trigonometria, especialmente decomposição de vetores em componentes e leis dos cossenos.
Vamos precisar:
- Decompor as direções angulares em componentes x (leste-oeste) e y (norte-sul).
- Utilizar as leis dos cossenos ou a soma vetorial para encontrar a distância solicitada.
Passo 2
Primeiro, vamos representar cada trecho da viagem como vetores com suas componentes x e y.
Trecho 1: 4,76 km a 37,0° a norte do leste.
- Componente x:
- Componente y:
Trecho 2: Direção 69,0° a oeste do norte.
Aqui, não foi fornecida a distância. Vamos chamar essa distância de
.
- A direção 69,0° a oeste do norte significa 69° a partir do norte em direção ao oeste.
- Componente x:
(negativo porque é para o oeste) - Componente y:
Trecho 3: Direção 28,0° a leste do sul.
Retornando para a primeira ilha.
- A direção 28,0° a leste do sul significa 28° a partir do sul em direção ao leste.
- Componente x:
(positivo porque é para o leste) - Componente y:
(negativo porque é para o sul)
Como a balsa retorna à primeira ilha, a soma das componentes x e y deve ser zero.
Passo 3
Vamos somar as componentes x e y:
Soma das componentes x:
Soma das componentes y:
Aqui, temos duas equações com duas incógnitas (
e
). Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de
e
.
Passo 4
Vamos resolver as equações passo a passo.
Primeiro, calculamos os valores trigonométricos:
Substituindo na primeira equação:
Na segunda equação:
Passo 5
Agora, temos o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método da substituição ou da eliminação. Vamos optar pela eliminação.
Primeiro, multiplique a Equação 1 por 0,3584 e a Equação 2 por 0,9336 para igualar os coeficientes de
:
Calculando:
Agora, somamos as Equações 3 e 4 para eliminar
:
Simplificando:
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora que encontramos
km, substituímos esse valor em uma das equações anteriores para encontrar
.
Usando a Equação 2:
Passo 7
Com os valores de
e
encontrados, podemos agora determinar a distância entre a Primeira e a Terceira Ilha.
A distância entre essas duas ilhas é justamente
, que já calculamos como aproximadamente 6,13 km.
Resposta
A distância entre a primeira e a terceira ilhas é de aproximadamente 6,13 km.