S Uma barra fina de comprimento e massa é segurada verticalmente com sua extremidade baixa repousando sobre uma superfície horizontal sem atrito. A barra é solta para cair livremente. (b) E se? Suponha agora que a barra tenha um pino fixo em sua extremidade baixa. Determine a velocidade do centro de massa da barra imediatamente antes de atingir a superfície.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma barra fina de comprimento e massa que está vertical, com a extremidade de baixo sobre uma superfície sem atrito. No item (b), a barra tem um pino fixo na base. Nosso objetivo é descobrir qual é a velocidade do centro de massa da barra justo antes de ela bater no chão. A matéria que vamos usar aqui é a dinâmica rotacional e a conservação de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na energia que a barra tem no começo e no final. Quando a barra está na posição vertical e prestes a cair, ela tem energia potencial gravitacional devido à sua altura. Quando ela cai e está prestes a tocar o chão, essa energia potencial se transforma em energia cinética de rotação.

Passo 3

A energia potencial gravitacional ( ) da barra quando está na posição vertical pode ser calculada usando a fórmula:
onde é a aceleração da gravidade e é a altura do centro de massa da barra.

Passo 4

Agora, a energia cinética rotacional ( ) da barra quando está girando pode ser calculada com:
Aqui, é o momento de inércia da barra em relação ao pino na base, e é a velocidade angular.

Passo 5

Para uma barra fina girando em torno de um extremo, o momento de inércia ( ) é:
Isso nos ajuda a relacionar a massa e o comprimento da barra com a sua resistência à rotação.

Passo 6

De acordo com a conservação de energia, a energia potencial inicial se transforma totalmente em energia cinética rotacional no final. Então, igualamos as duas expressões:

Passo 7

Simplificando a equação:
Multiplicando ambos os lados por 6:
Dividindo por :
Então, a velocidade angular é:

Passo 8

Agora, queremos a velocidade linear do centro de massa ( ). Sabemos que:
Substituindo :

Resposta

A velocidade do centro de massa da barra imediatamente antes de atingir a superfície é:

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