S Uma barra fina de comprimento
e massa
é segurada verticalmente com sua extremidade baixa repousando sobre uma superfície horizontal sem atrito. A barra é solta para cair livremente. (b) E se? Suponha agora que a barra tenha um pino fixo em sua extremidade baixa. Determine a velocidade do centro de massa da barra imediatamente antes de atingir a superfície.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma barra fina de comprimento
e massa
que está vertical, com a extremidade de baixo sobre uma superfície sem atrito. No item (b), a barra tem um pino fixo na base. Nosso objetivo é descobrir qual é a velocidade do centro de massa da barra justo antes de ela bater no chão. A matéria que vamos usar aqui é a dinâmica rotacional e a conservação de energia.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na energia que a barra tem no começo e no final. Quando a barra está na posição vertical e prestes a cair, ela tem energia potencial gravitacional devido à sua altura. Quando ela cai e está prestes a tocar o chão, essa energia potencial se transforma em energia cinética de rotação.
Passo 3
A energia potencial gravitacional (
) da barra quando está na posição vertical pode ser calculada usando a fórmula:
onde
é a aceleração da gravidade e
é a altura do centro de massa da barra.
Passo 4
Agora, a energia cinética rotacional (
) da barra quando está girando pode ser calculada com:
Aqui,
é o momento de inércia da barra em relação ao pino na base, e
é a velocidade angular.
Passo 5
Para uma barra fina girando em torno de um extremo, o momento de inércia (
) é:
Isso nos ajuda a relacionar a massa e o comprimento da barra com a sua resistência à rotação.
Passo 6
De acordo com a conservação de energia, a energia potencial inicial se transforma totalmente em energia cinética rotacional no final. Então, igualamos as duas expressões:
Passo 7
Simplificando a equação:
Multiplicando ambos os lados por 6:
Dividindo por
:
Então, a velocidade angular
é:
Passo 8
Agora, queremos a velocidade linear do centro de massa (
). Sabemos que:
Substituindo
:
Resposta
A velocidade do centro de massa da barra imediatamente antes de atingir a superfície é: