Calcule, em torno do ponto ( 0,0 ), a série de Taylor para as funções abaixo.
a) f(x, y)=x^{2} y+e^{y}

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Taylor (Maclaurin) da função
f(x,y)=x^{2}y+e^{y}
em torno do ponto (0,0). Vamos usar a fórmula geral de Taylor em duas variáveis e depois aplicar diretamente aos dois termos.

Passo 2

A fórmula de Taylor de ordem infinita (Maclaurin) para uma função f(x,y) é
f(x,y)=\sum_{i=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{\infty}\frac{1}{i!\,j!}\,\left.\frac{\partial^{\,i+j}f}{\partial x^{i}\partial y^{j}}\right|_{(0,0)}x^{i}y^{j}.
Assim basta identificar os coeficientes \frac{1}{i!\,j!}f_{x^{i}y^{j}}(0,0) para cada par (i,j).

Passo 3

O termo x^{2}y já é um monômio de grau 2 em x e 1 em y. Na expansão ele aparece diretamente como
x^{2}y,
pois \frac{\partial^{3}(x^{2}y)}{\partial x^{2}\partial y}\big|_{(0,0)}=2!\,1! e o fator \tfrac{1}{2!\,1!} o restitui sem alteração.

Passo 4

Para e^{y}, que independe de x, usamos a série de Maclaurin em uma variável:
e^{y}=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{y^{j}}{j!} =1 + y + \frac{y^{2}}{2!} + \frac{y^{3}}{3!} + \cdots.

Passo 5

Somando as duas partes, a série de Taylor de f em torno de (0,0) fica
f(x,y) = x^{2}y \;+\; \sum_{j=0}^{\infty}\frac{y^{j}}{j!} =1 + y + \frac{y^{2}}{2!} + \frac{y^{3}}{3!} + \cdots + x^{2}y.

Resposta

f(x,y)=1 + y + \frac{y^{2}}{2!} + \frac{y^{3}}{3!} + \cdots + x^{2}y.

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