Calcule, em torno do ponto ( 0,0 ), a série de Taylor para as funções abaixo.
a)
a)
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de Taylor (Maclaurin) da função
em torno do ponto
. Vamos usar a fórmula geral de Taylor em duas variáveis e depois aplicar diretamente aos dois termos.
Passo 2
A fórmula de Taylor de ordem infinita (Maclaurin) para uma função
é
Assim basta identificar os coeficientes
para cada par
.
Passo 3
O termo
já é um monômio de grau 2 em
e 1 em
. Na expansão ele aparece diretamente como
pois
e o fator
o restitui sem alteração.
Passo 4
Para
, que independe de
, usamos a série de Maclaurin em uma variável:
Passo 5
Somando as duas partes, a série de Taylor de
em torno de
fica