Calcule, em torno do ponto ( 0,0 ), a série de Taylor para as funções abaixo.
b) f(x, y)=\ln (x+y+1)

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x,y)=\ln(x+y+1) em torno de (0,0). O conteúdo envolvido é a expansão em série de Taylor para funções de duas variáveis, mas como f depende apenas da soma x+y, podemos reduzir ao caso univariado definindo u=x+y e usar a expansão conhecida de \ln(1+u).

Passo 2

Definindo
u = x+y,
temos
f(x,y)=\ln(1+u).
A série de Taylor de \ln(1+u) em torno de u=0 é
\ln(1+u)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{u^n}{n}.
Substituindo u=x+y, obtemos a série de Taylor de f em x,y:
\ln(x+y+1)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{(x+y)^n}{n}.

Resposta

\ln(x+y+1)= (x+y)-\tfrac{(x+y)^2}{2}+\tfrac{(x+y)^3}{3}-\tfrac{(x+y)^4}{4}+\cdots

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