Um canhão de mola está localizado na beirada de uma mesa que está acima do chão. Uma bola de aço é lançada do canhão com velocidade a acima da horizontal. (a) Encontre a posição horizontal da bola como função de no instante em que ela chega ao chão. Escrevemos esta função como . Avalie para (b) e para © . (d) Suponha que seja próximo de zero, mas não igual. Mostre que um termo da resposta para a parte (a) domina, de modo que a função é reduzida para uma forma mais simples. (e) Se é muito grande, qual é a forma aproximada de ? (f) Descreva o formato geral do gráfico da função .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um canhão de mola em cima de uma mesa que está a acima do chão. Quando acionamos o canhão, uma bola de aço é lançada com uma velocidade inicial em um ângulo de acima da horizontal. A parte (a) da questão quer que a gente encontre a posição horizontal da bola, , no momento em que ela chega ao chão. Para isso, vamos precisar das equações do movimento de projéteis, que descrevem como a bola se move tanto na horizontal quanto na vertical.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a velocidade inicial nas componentes horizontal e vertical. Isso é importante porque a velocidade horizontal permanece constante (já que não tem aceleração na horizontal), enquanto a velocidade vertical é afetada pela gravidade.
A componente horizontal da velocidade é:
E a componente vertical da velocidade é:
Onde .

Passo 3

Agora, precisamos descobrir quanto tempo a bola leva para chegar ao chão. Para isso, usamos a equação do movimento vertical. A posição vertical final será zero (já que a bola chega ao chão), mas como a bola começa a acima, a equação fica:
Onde:
  • (aceleração da gravidade)
Igualando a a zero para encontrar o tempo :

Passo 4

Essa é uma equação quadrática na forma , onde:
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver para :
Como o tempo não pode ser negativo, escolhemos a solução positiva.

Passo 5

Depois de encontrar o tempo que a bola leva para chegar ao chão, usamos isso para encontrar a posição horizontal . Como a velocidade horizontal é constante, a posição horizontal é simplesmente:
Portanto, a posição horizontal depende de e do tempo que calculamos.

Resposta

A posição horizontal da bola quando ela chega ao chão é dada por:

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