Um canhão de mola está localizado na beirada de uma mesa que está
acima do chão. Uma bola de aço é lançada do canhão com velocidade
a
acima da horizontal. (a) Encontre a posição horizontal da bola como função de
no instante em que ela chega ao chão. Escrevemos esta função como
. Avalie
para (b)
e para ©
. (d) Suponha que
seja próximo de zero, mas não igual. Mostre que um termo da resposta para a parte (a) domina, de modo que a função
é reduzida para uma forma mais simples. (e) Se
é muito grande, qual é a forma aproximada de
? (f) Descreva o formato geral do gráfico da função
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um canhão de mola em cima de uma mesa que está a
acima do chão. Quando acionamos o canhão, uma bola de aço é lançada com uma velocidade inicial
em um ângulo de
acima da horizontal. A parte (a) da questão quer que a gente encontre a posição horizontal da bola,
, no momento em que ela chega ao chão. Para isso, vamos precisar das equações do movimento de projéteis, que descrevem como a bola se move tanto na horizontal quanto na vertical.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a velocidade inicial
nas componentes horizontal e vertical. Isso é importante porque a velocidade horizontal permanece constante (já que não tem aceleração na horizontal), enquanto a velocidade vertical é afetada pela gravidade.
A componente horizontal da velocidade é:
E a componente vertical da velocidade é:
Onde
.
Passo 3
Agora, precisamos descobrir quanto tempo a bola leva para chegar ao chão. Para isso, usamos a equação do movimento vertical. A posição vertical final
será zero (já que a bola chega ao chão), mas como a bola começa a
acima, a equação fica:
Onde:
-
-
(aceleração da gravidade) -
Igualando a
a zero para encontrar o tempo
:
Passo 4
Essa é uma equação quadrática na forma
, onde:
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver para
:
Como o tempo não pode ser negativo, escolhemos a solução positiva.
Passo 5
Depois de encontrar o tempo
que a bola leva para chegar ao chão, usamos isso para encontrar a posição horizontal
. Como a velocidade horizontal
é constante, a posição horizontal é simplesmente:
Portanto, a posição horizontal
depende de
e do tempo que calculamos.
Resposta
A posição horizontal da bola quando ela chega ao chão é dada por: