Q S Uma pedra é jogada para cima a partir do solo de tal maneira que a altura máxima do seu percurso é igual ao seu alcance horizontal . (b) Em termos de seu alcance original , qual é o alcance que a pedra pode alcançar se for lançada com a mesma velocidade, mas no melhor ângulo para alcance máximo?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma pedra sendo lançada para cima a partir do chão de modo que a altura máxima que ela alcança é igual ao seu alcance horizontal, que chamamos de . O conteúdo aqui envolve cinemática e movimento de projéteis. Para resolver, vamos precisar das fórmulas que relacionam a velocidade inicial, o ângulo de lançamento, a altura máxima e o alcance horizontal de um projétil.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das fórmulas básicas do movimento de projéteis. Quando uma pedra é lançada com uma velocidade inicial e um ângulo com a horizontal, a altura máxima que ela atinge é dada por:
E o alcance horizontal é:
onde é a aceleração da gravidade ( ).

Passo 3

De acordo com o enunciado, a altura máxima é igual ao alcance horizontal . Então podemos igualar as duas equações:
Podemos simplificar essa equação cancelando e :

Passo 4

Vamos resolver a equação para encontrar o ângulo :
Sabemos que , então substituímos na equação:
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
Dividindo ambos os lados por (desde que ):
Então:
Portanto, o ângulo que satisfaz a condição inicial é .

Passo 5

Agora, queremos encontrar o alcance máximo que a pedra pode alcançar se for lançada com a mesma velocidade , mas no melhor ângulo para alcance máximo. Sabemos que o alcance máximo ocorre quando o ângulo de lançamento é .
Então, usamos a fórmula do alcance com :

Passo 6

Queremos expressar em termos do alcance original . Lembramos que, na condição inicial, , e usamos a equação:
Mas já encontramos que . Vamos calcular para relacionar com :
Sabemos que:
Então, substituindo na expressão de :
Agora, isolamos em termos de :

Passo 7

Agora, substituímos na expressão de :

Resposta

O alcance máximo que a pedra pode alcançar, lançada com a mesma velocidade mas no melhor ângulo para alcance máximo, é:

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