Q S Uma pedra é jogada para cima a partir do solo de tal maneira que a altura máxima do seu percurso é igual ao seu alcance horizontal
. (b) Em termos de seu alcance original
, qual é o alcance
que a pedra pode alcançar se for lançada com a mesma velocidade, mas no melhor ângulo para alcance máximo?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma pedra sendo lançada para cima a partir do chão de modo que a altura máxima que ela alcança é igual ao seu alcance horizontal, que chamamos de
. O conteúdo aqui envolve cinemática e movimento de projéteis. Para resolver, vamos precisar das fórmulas que relacionam a velocidade inicial, o ângulo de lançamento, a altura máxima e o alcance horizontal de um projétil.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das fórmulas básicas do movimento de projéteis. Quando uma pedra é lançada com uma velocidade inicial
e um ângulo
com a horizontal, a altura máxima
que ela atinge é dada por:
E o alcance horizontal
é:
onde
é a aceleração da gravidade (
).
Passo 3
De acordo com o enunciado, a altura máxima
é igual ao alcance horizontal
. Então podemos igualar as duas equações:
Podemos simplificar essa equação cancelando
e
:
Passo 4
Vamos resolver a equação para encontrar o ângulo
:
Sabemos que
, então substituímos na equação:
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
Dividindo ambos os lados por
(desde que
):
Então:
Portanto, o ângulo
que satisfaz a condição inicial é
.
Passo 5
Agora, queremos encontrar o alcance máximo
que a pedra pode alcançar se for lançada com a mesma velocidade
, mas no melhor ângulo para alcance máximo. Sabemos que o alcance máximo ocorre quando o ângulo de lançamento é
.
Então, usamos a fórmula do alcance com
:
Passo 6
Queremos expressar
em termos do alcance original
. Lembramos que, na condição inicial,
, e usamos a equação:
Mas já encontramos que
. Vamos calcular
para relacionar com
:
Sabemos que:
Então, substituindo na expressão de
:
Agora, isolamos
em termos de
:
Passo 7
Agora, substituímos
na expressão de
:
Resposta
O alcance máximo
que a pedra pode alcançar, lançada com a mesma velocidade mas no melhor ângulo para alcance máximo, é: