B As coordenadas de um corpo se movendo no plano
variam com o tempo de acordo com as equaçōes
e
, onde
é uma constante,
e
estāo dados em metros e
em segundos. (d) Descreva a trajetória do corpo em um traçado de
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos um corpo que se move no plano
com suas coordenadas variando no tempo de acordo com as equações:
Aqui,
é uma constante,
e
estão em metros, e
em segundos. Nosso objetivo é descrever a trajetória desse corpo no plano
, ou seja, encontrar uma relação entre
e
sem o tempo
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que as funções seno e cosseno estão relacionadas por:
Isso é uma identidade trigonométrica básica que sempre vale para qualquer ângulo
.
Passo 3
Vamos isolar o seno e o cosseno nas equações dadas. Da equação de
:
Da equação de
:
Passo 4
Agora, substituímos essas expressões na identidade trigonométrica:
Simplificando:
Passo 5
Podemos multiplicar toda a equação por 25,00 para simplificar:
Expandindo o termo
:
Passo 6
Reorganizando os termos:
Subtraindo 25,00 de ambos os lados:
Passo 7
Para deixar a equação na forma padrão de uma circunferência, completamos o quadrado para o termo de
. Pegamos o coeficiente de
, que é -8,00, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos 16,00 na equação:
Passo 8
Agora, isolamos a equação da circunferência:
Essa é a equação de uma circunferência com centro em
e raio de 5,00 metros.
Resposta
A trajetória do corpo é uma circunferência com centro no ponto
e raio igual a 5,00 metros, descrita pela equação: