B As coordenadas de um corpo se movendo no plano variam com o tempo de acordo com as equaçōes e , onde é uma constante, e estāo dados em metros e em segundos. (d) Descreva a trajetória do corpo em um traçado de .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos um corpo que se move no plano com suas coordenadas variando no tempo de acordo com as equações:
Aqui, é uma constante, e estão em metros, e em segundos. Nosso objetivo é descrever a trajetória desse corpo no plano , ou seja, encontrar uma relação entre e sem o tempo .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que as funções seno e cosseno estão relacionadas por:
Isso é uma identidade trigonométrica básica que sempre vale para qualquer ângulo .

Passo 3

Vamos isolar o seno e o cosseno nas equações dadas. Da equação de :
Da equação de :

Passo 4

Agora, substituímos essas expressões na identidade trigonométrica:
Simplificando:

Passo 5

Podemos multiplicar toda a equação por 25,00 para simplificar:
Expandindo o termo :

Passo 6

Reorganizando os termos:
Subtraindo 25,00 de ambos os lados:

Passo 7

Para deixar a equação na forma padrão de uma circunferência, completamos o quadrado para o termo de . Pegamos o coeficiente de , que é -8,00, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos 16,00 na equação:

Passo 8

Agora, isolamos a equação da circunferência:
Essa é a equação de uma circunferência com centro em e raio de 5,00 metros.

Resposta

A trajetória do corpo é uma circunferência com centro no ponto e raio igual a 5,00 metros, descrita pela equação:

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