Uma carga
em um campo elétrico uniforme
experimenta uma força
. Mostre que essa força é conservativa e verifique se a energia potencial da carga na posição
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma carga
que está em um campo elétrico uniforme
. A força que essa carga sente é dada por
. Nosso objetivo é mostrar que essa força é conservativa e verificar se a energia potencial da carga na posição
é
.
Vamos precisar entender o que é uma força conservativa, como calcular energia potencial e usar um pouco de cálculo vetorial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma força ser conservativa. Uma força é conservativa se o trabalho realizado por ela ao mover a carga de um ponto a outro é independente do caminho seguido. Além disso, uma força conservativa pode ser derivada de uma energia potencial, ou seja, existe uma função
tal que
.
No nosso caso, queremos mostrar que
é conservativa. Vamos verificar se existe uma energia potencial que gera essa força.
Passo 3
Vamos assumir que existe uma energia potencial
. Aqui,
é o campo elétrico uniforme e
é o vetor posição da carga.
Para encontrar a força a partir da energia potencial, usamos a relação:
Vamos calcular o gradiente de
.
Passo 4
Calculando o gradiente de
:
O gradiente de um produto escalar
em relação a
é simplesmente
se
for constante. Então:
Portanto, a força é:
Isso coincide exatamente com a força dada no enunciado.
Passo 5
Como conseguimos mostrar que
pode ser derivada de uma energia potencial
, isso prova que a força é conservativa. Além disso, isso valida a expressão da energia potencial fornecida.
Resposta
A força
é conservativa, e a energia potencial da carga na posição
é
.