Uma carga em um campo elétrico uniforme experimenta uma força . Mostre que essa força é conservativa e verifique se a energia potencial da carga na posição .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma carga que está em um campo elétrico uniforme . A força que essa carga sente é dada por . Nosso objetivo é mostrar que essa força é conservativa e verificar se a energia potencial da carga na posição é .
Vamos precisar entender o que é uma força conservativa, como calcular energia potencial e usar um pouco de cálculo vetorial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma força ser conservativa. Uma força é conservativa se o trabalho realizado por ela ao mover a carga de um ponto a outro é independente do caminho seguido. Além disso, uma força conservativa pode ser derivada de uma energia potencial, ou seja, existe uma função tal que .
No nosso caso, queremos mostrar que é conservativa. Vamos verificar se existe uma energia potencial que gera essa força.

Passo 3

Vamos assumir que existe uma energia potencial . Aqui, é o campo elétrico uniforme e é o vetor posição da carga.
Para encontrar a força a partir da energia potencial, usamos a relação:
Vamos calcular o gradiente de .

Passo 4

Calculando o gradiente de :
O gradiente de um produto escalar em relação a é simplesmente se for constante. Então:
Portanto, a força é:
Isso coincide exatamente com a força dada no enunciado.

Passo 5

Como conseguimos mostrar que pode ser derivada de uma energia potencial , isso prova que a força é conservativa. Além disso, isso valida a expressão da energia potencial fornecida.

Resposta

A força é conservativa, e a energia potencial da carga na posição é .

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