Uma partícula de massa
está se movendo sobre uma mesa horizontal sem atrito e está ligada a um fio de massa desprezível, cujo lado oposto passa através de um orifício na mesa, por onde a estou segurando. Inicialmente, a partícula está se movendo em um círculo de raio
com velocidade angular
, mas agora puxo o fio para baixo através do orifício até que um comprimento
permaneça entre o orifício e a partícula. Assumindo que eu puxo o fio tão vagarosamente que podemos aproximar o caminho da partícula por um círculo com um raio diminuindo lentamente, calcule o trabalho que eu realizei ao puxar o fio.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula de massa
que se move em um círculo sobre uma mesa sem atrito, ligada a um fio. Inicialmente, o raio desse círculo é
e a velocidade angular é
. Agora, estamos puxando o fio de forma bem lenta, reduzindo o raio para
. Precisamos calcular o trabalho que foi realizado ao puxar o fio. Para isso, vamos usar conceitos de energia cinética e conservação do momento angular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia cinética de uma partícula em movimento circular é dada por:
onde
é a velocidade tangencial. Mas
também está relacionada à velocidade angular
e ao raio
por:
Substituindo na expressão da energia cinética, temos:
Passo 3
Como estamos puxando o fio lentamente, o momento angular
da partícula é conservado. O momento angular é dado por:
Como
é constante, podemos escrever:
Cancelando
dos dois lados, temos:
Dessa forma, podemos expressar
em função de
:
Passo 4
Vamos substituir a expressão de
na fórmula da energia cinética:
Passo 5
O trabalho realizado ao puxar o fio é equivalente à variação da energia cinética da partícula. Então, temos:
Calculando
com raio
e
com raio
:
Passo 6
Fatorando
na expressão, temos:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Resposta
O trabalho realizado ao puxar o fio é: