Uma partícula de massa está se movendo sobre uma mesa horizontal sem atrito e está ligada a um fio de massa desprezível, cujo lado oposto passa através de um orifício na mesa, por onde a estou segurando. Inicialmente, a partícula está se movendo em um círculo de raio com velocidade angular , mas agora puxo o fio para baixo através do orifício até que um comprimento permaneça entre o orifício e a partícula. Assumindo que eu puxo o fio tão vagarosamente que podemos aproximar o caminho da partícula por um círculo com um raio diminuindo lentamente, calcule o trabalho que eu realizei ao puxar o fio.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula de massa que se move em um círculo sobre uma mesa sem atrito, ligada a um fio. Inicialmente, o raio desse círculo é e a velocidade angular é . Agora, estamos puxando o fio de forma bem lenta, reduzindo o raio para . Precisamos calcular o trabalho que foi realizado ao puxar o fio. Para isso, vamos usar conceitos de energia cinética e conservação do momento angular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia cinética de uma partícula em movimento circular é dada por:
onde é a velocidade tangencial. Mas também está relacionada à velocidade angular e ao raio por:
Substituindo na expressão da energia cinética, temos:

Passo 3

Como estamos puxando o fio lentamente, o momento angular da partícula é conservado. O momento angular é dado por:
Como é constante, podemos escrever:
Cancelando dos dois lados, temos:
Dessa forma, podemos expressar em função de :

Passo 4

Vamos substituir a expressão de na fórmula da energia cinética:

Passo 5

O trabalho realizado ao puxar o fio é equivalente à variação da energia cinética da partícula. Então, temos:
Calculando com raio e com raio :

Passo 6

Fatorando na expressão, temos:

Passo 7

Simplificando a expressão:

Resposta

O trabalho realizado ao puxar o fio é:

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