Considere um pequeno disco, sem atrito, posto no topo de uma esfera fixa de raio . Se o disco recebe um pequeno impulso de modo que ele escorregue para baixo, até que altura vertical ele irá descer antes de deixar a superfície da esfera? [Sugestão: use a conservação da energia para determinar a velocidade do disco em função da sua altura, em seguida, use a segunda lei de Newton para determinar a força normal da esfera sobre o disco. Para que valor da força normal o disco deixa a superfície da esfera?]

Passo 1

Beleza, vamos resumir o problema! Temos um pequeno disco que está no topo de uma esfera fixa com raio . Sem atrito, o disco recebe um empurrãozinho e começa a escorregar para baixo. Nosso objetivo é descobrir até que altura vertical o disco desce antes de sair da superfície da esfera.
Para resolver isso, vamos usar dois conceitos principais:
  1. Conservação da energia: para encontrar a velocidade do disco em função da altura.
  2. Segunda lei de Newton: para determinar a força normal exercida pela esfera sobre o disco.
Vamos precisar lembrar que quando o disco sai da superfície, a força normal é zero. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos usar a conservação da energia. No ponto de partida, toda a energia do disco está na forma de energia potencial gravitacional, já que ele está parado no topo.
A energia potencial inicial ( ) é:
onde:
  • é a massa do disco,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é a altura.
No topo, , então:
À medida que o disco desce até uma altura , ele ganha energia cinética ( ) e perde energia potencial. A energia cinética é dada por:
Pela conservação da energia:
Podemos simplificar cancelando dos dois lados:
Agora, isolamos :

Passo 3

Agora, vamos aplicar a segunda lei de Newton na direção radial (para cima ou para baixo em relação ao centro da esfera). As forças que atuam no disco são:
  1. Força gravitacional: puxando o disco para baixo.
  2. Força normal: da esfera sobre o disco, empurrando para cima.
No ponto onde o disco está na altura , o ângulo em relação à vertical é tal que .
A componente da força gravitacional na direção radial é .
A força centrípeta necessária para manter o disco na trajetória circular é:
Pela segunda lei de Newton:
Substituindo por :

Passo 4

Queremos saber o ponto em que o disco deixa a superfície da esfera. Isso acontece quando a força normal é zero.
Então, colocamos :
Simplificando e multiplicando ambos os lados por :
Mas já sabemos de antes que:
Então:
Cancelando dos dois lados:
Resolvendo para :

Resposta

O disco desce até uma altura vertical de antes de deixar a superfície da esfera.

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