Considere um pequeno disco, sem atrito, posto no topo de uma esfera fixa de raio
. Se o disco recebe um pequeno impulso de modo que ele escorregue para baixo, até que altura vertical ele irá descer antes de deixar a superfície da esfera? [Sugestão: use a conservação da energia para determinar a velocidade do disco em função da sua altura, em seguida, use a segunda lei de Newton para determinar a força normal da esfera sobre o disco. Para que valor da força normal o disco deixa a superfície da esfera?]
Passo 1
Beleza, vamos resumir o problema! Temos um pequeno disco que está no topo de uma esfera fixa com raio
. Sem atrito, o disco recebe um empurrãozinho e começa a escorregar para baixo. Nosso objetivo é descobrir até que altura vertical o disco desce antes de sair da superfície da esfera.
Para resolver isso, vamos usar dois conceitos principais:
- Conservação da energia: para encontrar a velocidade do disco em função da altura.
- Segunda lei de Newton: para determinar a força normal exercida pela esfera sobre o disco.
Vamos precisar lembrar que quando o disco sai da superfície, a força normal é zero. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos usar a conservação da energia. No ponto de partida, toda a energia do disco está na forma de energia potencial gravitacional, já que ele está parado no topo.
A energia potencial inicial (
) é:
onde:
-
é a massa do disco, -
é a aceleração da gravidade, -
é a altura.
No topo,
, então:
À medida que o disco desce até uma altura
, ele ganha energia cinética (
) e perde energia potencial. A energia cinética é dada por:
Pela conservação da energia:
Podemos simplificar cancelando
dos dois lados:
Agora, isolamos
:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a segunda lei de Newton na direção radial (para cima ou para baixo em relação ao centro da esfera). As forças que atuam no disco são:
- Força gravitacional:
puxando o disco para baixo. - Força normal:
da esfera sobre o disco, empurrando para cima.
No ponto onde o disco está na altura
, o ângulo
em relação à vertical é tal que
.
A componente da força gravitacional na direção radial é
.
A força centrípeta necessária para manter o disco na trajetória circular é:
Pela segunda lei de Newton:
Substituindo
por
:
Passo 4
Queremos saber o ponto em que o disco deixa a superfície da esfera. Isso acontece quando a força normal
é zero.
Então, colocamos
:
Simplificando
e multiplicando ambos os lados por
:
Mas já sabemos de antes que:
Então:
Cancelando
dos dois lados:
Resolvendo para
:
Resposta
O disco desce até uma altura vertical de
antes de deixar a superfície da esfera.