Em um circuito
, a razão
vale 0,010 . Quantos ciclos do oscilador são necessários para que sua energia caia para metade do valor inicial?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um circuito RLC e nos foi dada a razão
. A pergunta é: quantos ciclos do oscilador são necessários para que a energia caia para metade do valor inicial?
Vamos precisar entender como a energia decai em um circuito oscilatório amortecido e usar algumas fórmulas básicas de física de circuitos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um circuito RLC amortecido, a energia
do sistema decai exponencialmente com o tempo. A equação que descreve essa decaimento é:
Aqui,
é a energia inicial e
é a taxa de amortecimento.
Passo 3
Queremos descobrir quando a energia cai para metade do valor inicial, ou seja, quando
. Vamos substituir isso na equação:
Passo 4
Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por
:
Agora, para resolver para
, vamos usar o logaritmo natural (ln) dos dois lados:
Passo 5
Sabemos que
, então podemos reescrever a equação como:
Cancelando os sinais negativos:
Passo 6
Isolando
:
Passo 7
Agora, queremos saber quantos ciclos
acontecem nesse tempo
. A frequência angular
está relacionada ao período
pelo:
Então, o número de ciclos é:
Substituindo
:
Passo 8
Mas a gente sabe que
, então
.
Substituindo isso na equação de
:
Resposta
São necessários aproximadamente 5,51 ciclos do oscilador para que a energia caia para metade do valor inicial.