Em um circuito , a razão vale 0,010 . Quantos ciclos do oscilador são necessários para que sua energia caia para metade do valor inicial?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um circuito RLC e nos foi dada a razão . A pergunta é: quantos ciclos do oscilador são necessários para que a energia caia para metade do valor inicial?
Vamos precisar entender como a energia decai em um circuito oscilatório amortecido e usar algumas fórmulas básicas de física de circuitos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um circuito RLC amortecido, a energia do sistema decai exponencialmente com o tempo. A equação que descreve essa decaimento é:
Aqui, é a energia inicial e é a taxa de amortecimento.

Passo 3

Queremos descobrir quando a energia cai para metade do valor inicial, ou seja, quando . Vamos substituir isso na equação:

Passo 4

Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por :
Agora, para resolver para , vamos usar o logaritmo natural (ln) dos dois lados:

Passo 5

Sabemos que , então podemos reescrever a equação como:
Cancelando os sinais negativos:

Passo 6

Isolando :

Passo 7

Agora, queremos saber quantos ciclos acontecem nesse tempo . A frequência angular está relacionada ao período pelo:
Então, o número de ciclos é:
Substituindo :

Passo 8

Mas a gente sabe que , então .
Substituindo isso na equação de :

Resposta

São necessários aproximadamente 5,51 ciclos do oscilador para que a energia caia para metade do valor inicial.

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