15.5 As componentes do campo magnético terrestre no Brasil têm os seguintes valores aproximados: 2 \times 10^{-5} \mathrm{~T} na vertical para baixo e 1 \times 10^{-5} \mathrm{~T} na horizontal para norte. Calcule a força magnética, por unidade de comprimento, que age sobre uma linha de transmissão orientada no sentido oeste–leste pela qual circula uma corrente de 800 ampères para o leste.

Passo 1

O enunciado dá o campo magnético da Terra no Brasil com componentes vertical para baixo de 2\times10^{-5}\,\mathrm{T} e horizontal para o norte de 1\times10^{-5}\,\mathrm{T}. Temos uma linha de transmissão orientada oeste–leste, percorrida por uma corrente de I=800\,\mathrm{A} para o leste. Queremos a força magnética por unidade de comprimento, dada por
\frac{\mathbf{F}}{L} \;=\; I\,\hat\ell\times\mathbf{B}.

Passo 2

Escolhemos o sistema de eixos
\hat e_E = leste,
\hat e_N = norte,
\hat e_U = para cima.
A direção da corrente é
\hat\ell = \hat e_E.
O campo resulta em
\mathbf{B} = B_h\,\hat e_N \;+\; B_v\,(-\hat e_U) \;=\; \bigl(1\times10^{-5}\bigr)\,\hat e_N \;-\;\bigl(2\times10^{-5}\bigr)\,\hat e_U.

Passo 3

Calculamos o produto vetorial em duas partes:
\hat e_E\times\bigl(1\times10^{-5}\,\hat e_N\bigr) e
\hat e_E\times\bigl(-2\times10^{-5}\,\hat e_U\bigr).
Como
\hat e_E\times\hat e_N = \hat e_U, \quad \hat e_E\times\hat e_U = -\,\hat e_N,
vem
\hat e_E\times\mathbf{B} =1\times10^{-5}\,\hat e_U \;-\;2\times10^{-5}\,(-\hat e_N) =1\times10^{-5}\,\hat e_U +2\times10^{-5}\,\hat e_N.
Multiplicando por I=800, obtemos
\frac{\mathbf{F}}{L} =800\bigl(1\times10^{-5}\,\hat e_U +2\times10^{-5}\,\hat e_N\bigr) =8{,}0\times10^{-3}\,\hat e_U \;+\;1{,}6\times10^{-2}\,\hat e_N \quad(\mathrm{N/m}).

Passo 4

Para a magnitude,
\bigl\lvert\mathbf{F}/L\bigr\rvert =\sqrt{(1{,}6\times10^{-2})^2+(8{,}0\times10^{-3})^2} =\sqrt{2{,}56\times10^{-4}+6{,}4\times10^{-5}} =\sqrt{3{,}2\times10^{-4}} \approx1{,}8\times10^{-2}\,\mathrm{N/m}.

Resposta

\displaystyle \frac{\mathbf{F}}{L} =1{,}6\times10^{-2}\,\hat e_N \;+\;8{,}0\times10^{-3}\,\hat e_U
N/m, com módulo \approx1{,}8\times10^{-2}\,\mathrm{N/m}.

Exercícios de Livros Relacionados