Para
, um corpo de massa
nảo experimenta ncnhuma força e se move na direçảo positiva de
com uma velocidade constante
Começando em
, quando
corpo passa pela posição
, elc cxpcrimenta uma forcea resistiva resultante proporcional ao quadrado de sua velocidade:
, onde
é uma constante. A velocidade do corpo após
é dada por
. (a) Encontre a posição
do corpo como funçâo do tempo,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o movimento de um corpo com massa
que, para tempos
, se move na direção positiva do eixo
com velocidade constante
. A partir de
, quando o corpo passa pela posição
, ele começa a sentir uma força resistiva proporcional ao quadrado da sua velocidade, dada por
, onde
é uma constante. A velocidade do corpo após
é fornecida por
. O que precisamos fazer aqui é encontrar a posição
do corpo em função do tempo
. Vamos usar conceitos de cinemática e integração para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, temos:
Dado que
, podemos substituir na equação acima:
Passo 3
Agora, para encontrar a posição
, precisamos integrar ambos os lados da equação em relação ao tempo
:
Passo 4
Vamos resolver essa integral. Observe que a integral de
em relação a
é
, onde
é uma constante. Aplicando isso à nossa integral:
Aqui,
é a constante de integração.
Passo 5
Determinar a constante de integração
. Sabemos que no instante
, a posição
. Substituindo esses valores na equação:
Passo 6
Então, substituindo
na equação da posição, temos:
Resposta
A posição do corpo em função do tempo é: