Para , um corpo de massa nảo experimenta ncnhuma força e se move na direçảo positiva de com uma velocidade constante Começando em , quando corpo passa pela posição , elc cxpcrimenta uma forcea resistiva resultante proporcional ao quadrado de sua velocidade: , onde é uma constante. A velocidade do corpo após é dada por . (a) Encontre a posição do corpo como funçâo do tempo,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o movimento de um corpo com massa que, para tempos , se move na direção positiva do eixo com velocidade constante . A partir de , quando o corpo passa pela posição , ele começa a sentir uma força resistiva proporcional ao quadrado da sua velocidade, dada por , onde é uma constante. A velocidade do corpo após é fornecida por . O que precisamos fazer aqui é encontrar a posição do corpo em função do tempo . Vamos usar conceitos de cinemática e integração para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, temos:
Dado que , podemos substituir na equação acima:

Passo 3

Agora, para encontrar a posição , precisamos integrar ambos os lados da equação em relação ao tempo :

Passo 4

Vamos resolver essa integral. Observe que a integral de em relação a é , onde é uma constante. Aplicando isso à nossa integral:
Aqui, é a constante de integração.

Passo 5

Determinar a constante de integração . Sabemos que no instante , a posição . Substituindo esses valores na equação:

Passo 6

Então, substituindo na equação da posição, temos:

Resposta

A posição do corpo em função do tempo é:

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