Uma pia ao redor de um cano de esgoto tem a forma de um cone circular abrindo para cima, formando um ângulo de
com a horizontal em todos os pontos. Um cubo de gelo de
é posto para escorregar ao redor do cone sem atrito em um círculo horizontal de raio
. © A velocidade necessária aumenta, diminui ou permanece constante? Se mudar, isto deve-se a qual fator?
Passo 1
Então, vamos resumir o que está acontecendo aqui. Temos uma pia com a forma de um cone, que forma um ângulo de
com a horizontal. Um cubo de gelo de
está escorregando sem atrito ao redor desse cone, movendo-se em um círculo horizontal de raio
. A pergunta é: a velocidade necessária para o cubo de gelo aumentar, diminuir ou permanecer constante? E, se mudar, por quê?
Passo 2
Primeiro, vamos entender o movimento do cubo de gelo. Como ele está se movendo em um círculo, precisamos considerar a força centrípeta que mantém o cubo nessa trajetória. A força centrípeta (
) é dada por:
onde:
-
é a massa do cubo de gelo, -
é a velocidade, -
é o raio da trajetória.
Passo 3
Agora, vamos analisar as forças atuantes no cubo de gelo. Como ele está descendo pelo cone, temos duas forças principais:
- A força da gravidade (
) que puxa o cubo para baixo. - A força normal (
) do cone, que atua perpendicularmente à superfície do cone.
Essas forças se equilibram de modo que a força centrípeta necessária para o movimento circular é fornecida pela componente horizontal da força normal.
Passo 4
Vamos decompor a força normal em duas componentes:
- Componente vertical:
- Componente horizontal:
onde
é o ângulo do cone.
Passo 5
Da componente vertical, podemos encontrar a força normal:
Substituindo isso na componente horizontal:
Simplificando, temos:
Passo 6
Agora, isolamos a velocidade
:
Isso mostra que a velocidade
depende da raiz quadrada do raio
multiplicado por
.
Passo 7
Analisando a expressão, se o raio
aumenta, a velocidade
também aumenta, pois
é proporcional a
. Portanto, a velocidade necessária aumenta conforme o raio
aumenta.
Passo 8
A mudança na velocidade se deve ao fato de que, para manter o cubo de gelo em uma trajetória circular maior, é necessário um aumento na força centrípeta, o que requer uma maior velocidade.
Resposta
A velocidade necessária aumenta à medida que o raio
aumenta, devido à necessidade de maior força centrípeta para manter o movimento circular.