Uma pia ao redor de um cano de esgoto tem a forma de um cone circular abrindo para cima, formando um ângulo de com a horizontal em todos os pontos. Um cubo de gelo de é posto para escorregar ao redor do cone sem atrito em um círculo horizontal de raio . © A velocidade necessária aumenta, diminui ou permanece constante? Se mudar, isto deve-se a qual fator?

Passo 1

Então, vamos resumir o que está acontecendo aqui. Temos uma pia com a forma de um cone, que forma um ângulo de com a horizontal. Um cubo de gelo de está escorregando sem atrito ao redor desse cone, movendo-se em um círculo horizontal de raio . A pergunta é: a velocidade necessária para o cubo de gelo aumentar, diminuir ou permanecer constante? E, se mudar, por quê?

Passo 2

Primeiro, vamos entender o movimento do cubo de gelo. Como ele está se movendo em um círculo, precisamos considerar a força centrípeta que mantém o cubo nessa trajetória. A força centrípeta ( ) é dada por:
onde:
  • é a massa do cubo de gelo,
  • é a velocidade,
  • é o raio da trajetória.

Passo 3

Agora, vamos analisar as forças atuantes no cubo de gelo. Como ele está descendo pelo cone, temos duas forças principais:
  1. A força da gravidade ( ) que puxa o cubo para baixo.
  2. A força normal ( ) do cone, que atua perpendicularmente à superfície do cone.
Essas forças se equilibram de modo que a força centrípeta necessária para o movimento circular é fornecida pela componente horizontal da força normal.

Passo 4

Vamos decompor a força normal em duas componentes:
  • Componente vertical:
  • Componente horizontal:
onde é o ângulo do cone.

Passo 5

Da componente vertical, podemos encontrar a força normal:
Substituindo isso na componente horizontal:
Simplificando, temos:

Passo 6

Agora, isolamos a velocidade :
Isso mostra que a velocidade depende da raiz quadrada do raio multiplicado por .

Passo 7

Analisando a expressão, se o raio aumenta, a velocidade também aumenta, pois é proporcional a . Portanto, a velocidade necessária aumenta conforme o raio aumenta.

Passo 8

A mudança na velocidade se deve ao fato de que, para manter o cubo de gelo em uma trajetória circular maior, é necessário um aumento na força centrípeta, o que requer uma maior velocidade.

Resposta

A velocidade necessária aumenta à medida que o raio aumenta, devido à necessidade de maior força centrípeta para manter o movimento circular.

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