*Uma corrente elétrica percorre um condutor cilíndrico de raio a. A densidade de corrente é
em que é constante e . Primeiramente, mostre que esta densidade de corrente é compatível com o princípio de conservação da carga. Depois, calcule o potencial vetor e o campo magnético para pontos dentro e fora do condutor.
Passo 1
O enunciado dá uma densidade de corrente em um condutor cilíndrico de raio
onde é constante e .
Conteúdo:
– verificar a conservação de carga estacionária (),
– usar a Lei de Ampère para achar ,
– encontrar o potencial vetor a partir de assumindo simetria axial e gauge de Coulomb ().
Passo 2
Em regime estacionário a conservação de carga exige
Como só tem componente que depende só de , temos
pois não há variação em . Logo a densidade é compatível com conservação de carga.
Passo 3
Para achar o campo magnético usamos a Lei de Ampère num caminho cilíndrico de raio . O fluxo de corrente encostado por esse amperiano é
Pela Lei de Ampère em simetria cilindrica
Assim dentro ()
e fora (), usando ,
Portanto
Passo 4
Procuramos
Integramos separadamente:
Para , dá
Para , dá
Impondo continuidade de em e escolhendo o gauge de tal forma que a partir de fora (ou seja ), obtemos
e portanto uma forma conveniente é
Pode-se ainda reescrever subtraindo uma constante comum para simplificar o valor num ponto de referência, mas a forma acima já satisfaz .
Resposta
A densidade vecjmath=C/r,hat z satisfaz nabla!cdot!vecjmath=0.
O campo magnético é