*Uma corrente elétrica percorre um condutor cilíndrico de raio a. A densidade de corrente é
jmath=Cr n
em que C é constante e 0 <= r <= a. Primeiramente, mostre que esta densidade de corrente é compatível com o princípio de conservação da carga. Depois, calcule o potencial vetor e o campo magnético para pontos dentro e fora do condutor.

Passo 1

O enunciado dá uma densidade de corrente em um condutor cilíndrico de raio a
vecjmath = Cr,z,
onde C é constante e 0<= r<= a.
Conteúdo:
– verificar a conservação de carga estacionária ( nabla!cdot!vecjmath=0),
– usar a Lei de Ampère para achar vec B,
– encontrar o potencial vetor vec A a partir de nablatimesvec A=vec B assumindo simetria axial e gauge de Coulomb ( nabla!cdot!vec A=0).

Passo 2

Em regime estacionário a conservação de carga exige
nabla!cdot!vecjmath = 0
Como vecjmath só tem componente z que depende só de r, temos
nabla!cdot!vecjmath = partial jzpartial z = partialpartial zl(Crr)=0,
pois não há variação em z. Logo a densidade é compatível com conservação de carga.

Passo 3

Para achar o campo magnético usamos a Lei de Ampère num caminho cilíndrico de raio r. O fluxo de corrente encostado por esse amperiano é
Irm enc(r)=integral0^r!jz(r'),2pi r',dr' =integral0^rCr',2pi r',dr' =2pi C,r
Pela Lei de Ampère em simetria cilindrica
oint vec Bcdotdvecell = mu0,Irm enc(r) Longrightarrow Bphi(r),(2pi r)=mu0,(2pi C,r)
Assim dentro ( r<a)
Bphi(r)=mu0,C,
e fora ( r>a), usando Irm tot=2pi C,a,
Bphi(r)=mu0,(2pi C,a)2pi r =mu0,C,ar
Portanto
vec B(r)= mu0,C;hatphi, & r<a, mu0,C,ar;hatphi, & r>a

Passo 4

Procuramos
Integramos separadamente:
  • Para ,
  • Para ,
Impondo continuidade de em e escolhendo o gauge de tal forma que a partir de fora (ou seja ), obtemos
e portanto uma forma conveniente é
Pode-se ainda reescrever subtraindo uma constante comum para simplificar o valor num ponto de referência, mas a forma acima já satisfaz .

Resposta

A densidade vecjmath=C/r,hat z satisfaz nabla!cdot!vecjmath=0.
O campo magnético é
vec B(r)= mu0,C;hatphi, & r<a, mu0,dfracC,ar;hatphi, & r>a,
e o potencial vetor em gauge de Coulomb e simetria axial pode ser tomado como
vec A(r)=Az(r),hat z, Az(r)= -mu0,C,r -mu0,C,aln a, & r<a, -mu0,C,aln r, & r>a

Exercícios de Livros Relacionados