*Seja uma esfera de raio R e carga Q, distribuída uniformemente sobre sua superfície, girando com velocidade angular omega. Calcular o potencial vetor e o campo magnético para pontos internos e externos à esfera.
Um dos aspectos interessantes deste problema, que pode ser visualizado como formado por infinitas espiras, é que tenha solução sem depender de nenhuma integral elíptica (ao contrário do anterior formado por uma só espira), dada por
& Aint=mu0 Q12 pi R omega times r & Aext=mu0 Q R^212 pi r^3 omega times r
Esta esfera carregada, girando com velocidade angular ^35, forma um dipolo magnético. Faremos mais comentários sobre este resultado no final da Seção 3.3. Na Seção 3.4, veremos outra maneira de resolvê-lo, para pontos externos (lista omega - exercício 4).

  1. n^circ 14 Veja, por favor, Handbook of Mathematical Functions, M. Abramowitz e I. Segun, página 589.

Passo 1

O enunciado pede o vetor potencial vec A e o campo magnético vec B criados por uma esfera de raio R com carga Q uniformemente distribuída na superfície, girando com velocidade angular vecomega.
Conteúdo: magnetostática, densidade de corrente de superfície, vetor potencial via dipolo magnético e cálculo de nablatimesvec A.

Passo 2

Cada ponto da superfície carrega densidade de carga de superfície
sigma = Q4pi R^2
e move–se com
vec v = vecomegatimesvec r,, |vec r|=R
Logo a densidade de corrente superficial é
vec K = sigma,vec v = Q4pi R^2,l(vecomegatimesvec rr)

Passo 3

O momento dipolar magnético é
vec m = 12integralSvec r'timesvec K(vec r'),dS'
que, para a casca esférica, dá
vec m = Q R^23,vecomega

Passo 4

Pelo potencial de um dipolo magnético, para r>R:
vec Aext(vec r) = mu04pi,vec mtimesvec rr^3 = mu0 Q R^212pi r^3,l(vecomegatimesvec rr)
Para r<R, vec A satisfaz nabla^2vec A=0 e é finito em r=0, impondo continuidade em r=R obtém-se
vec Aint(vec r) = mu0 Q12pi R,l(vecomegatimesvec rr)

Passo 5

O campo magnético é vec B=nablatimesvec A.
Para r<R, usando nablatimes(vecomegatimesvec r)=2vecomega:
vec Bint = mu0 Q12pi R,2vecomega = mu0 Q6pi R,vecomega
Para r>R, resulta o campo de dipolo:
vec Bext = nablatimesl(mu04pi,vec mtimesvec rr^3r) = mu04pi r^3,l[3(vec mcdothat r),hat r-vec mr]
e, com vec m=(Q R^2/3)vecomega,
vec Bext = mu0 Q R^212pi r^3,l[3(vecomegacdothat r),hat r-vecomegar]

Resposta

Aint(r) = mu0 Q12pi R l(omega times rr), Aext(r) = mu0 Q R^212pi r^3 l(omega times rr)
Bint(r) = mu0 Q6pi R omega, Bext(r) = mu0 Q R^212pi r^3 l[3(omega cdot r) r - omegar]

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