Considere agora que a esfera de raio R possua a carga Q distribuída uniformemente pelo seu volume. Obtenha que o vetor potencial e o campo magnético para pontos externos à esfera são (os comentários são também os mesmos do problema anterior).
& Aext=mu0 Q R^220 pi r^3 omega times r & Bext=mu0 Q R^220 pi r^3[3(omega cdot r) rr^2-omega]
Mostre que para pontos internos, o resultado é
& Aint=3 mu0 Q8 pi R^3(R^23-r^25) omega times r & Bint=muo Q20 pi R^3[3(omega cdot r) r+(5 R^2-6 r^2) omega]

Passo 1

O enunciado pede o potencial vetorial
A(vec r)=mu04piintegralvec J(vec r,')|vec r-vec r,'|,dV'
e o campo magnético
vec B=nablatimesvec A
para pontos internos (r<R) de uma esfera de raio R com carga total Q distribuída uniformemente e girando com velocidade angular vecomega. O conteúdo é Magnetostática de correntes volumétricas, usando
vec J(vec r,')=rho,vec v(vec r,')=rho,(vecomegatimesvec r,'),, rho=Qtfrac4pi R^33,

Passo 2

Escrevemos
vec A(vec r) =mu04piintegralrho,(vecomegatimesvec r,')|vec r-vec r,'|,dV' =mu0rho4pi,vecomegatimesunderbraceintegralvec r,'|vec r-vec r,'|,dV'I(vec r)
Para calcular I(vec r) em r<R, dividimos a integral em duas regiões: 0<= r'<r e r<r'<= R.

Passo 3

Usamos a expansão em polinômios de Legendre
1|r - r,'| = sumell=0^infty dfracr'^ellr^ell+1,Pell(cosgamma), & r' < r, [6pt] dfracr^ellr'^ell+1,Pell(cosgamma), & r' > r,
onde cosgamma = (r cdot r,')/(r r'). Só o termo ell=1 contribui em
I(r) = integral r,',|r - r,'|^-1 dV'.]

Passo 4

Para ell=1 temos
P1(cosgamma)=vec rcdotvec r,'rr'
Logo, separando as duas regiões,
I(vec r) =integralr'<rvec r,'r'^1r^2,P1,dV' +integralr'>rvec r,'r^1r'^2,P1,dV'
Ambos os integrandos envolvem vec rcdotvec r,',vec r,', cuja integral de ângulo satisfaz
integral xi' xj',dOmega'=4pi3,r'^23,de<aij

Passo 5

Calculamos separadamente os dois pedaços:
1) Para r'<r:
I1 =1r^2integral0^r!integralvec r,'vec rcdotvec r,'r',dV' =4pi9,r^2,rintegral0^rr'^4,dr';vec r =4pi,r9,r^2cdotr^55;vec r =4pi,r^445;vec r
2) Para r'>r:
I2 =rintegralr^R!integralvec r,'vec rcdotvec r,'r'^3,dV' =4pi,r9integralr^Rr'^2,dr';vec r =4pi,r9cdotR^3-r^33;vec r =4pi,r27(R^3-r^3);vec r
Somando I=I1+I2 e simplificando,
I(vec r) =4pi,vec r135 l(3r^4+5r(R^3-r^3)r) =4pi,vec r135l(5R^3r-2r^4r) =4pi,vec r27,rl(tfrac5R^35-tfrac2r^35r) =4pi,r^227,(R^3-tfrac2r^35);vec r

Passo 6

Retornando a vec A:
vec Arm int =mu0rho4pi,vecomegatimes I =mu0rho4pi,4pi,r^227(R^3-tfrac2r^35),(vecomegatimesvec r) =mu0rho27,r^2l(R^3-2r^35r),vecomegatimesvec r
Substituindo rho=3Q/(4pi R^3) e rearranjando:
vec Arm int =3mu0Q4pi R^3, r^227l(R^3-2r^35r),vecomegatimesvec r =3mu0Q8pi R^3l(R^23-r^25r),vecomegatimesvec r

Passo 7

Finalmente,
vec Brm int=nablatimesvec Arm int. Calculando o rotacional de
,(f(r),vecomegatimesvec r)
obtém-se
vec Brm int =mu0Q20pi R^3l[3(vecomegacdotvec r),vec r+(5R^2-6r^2),vecomegar]

Resposta

boxed Aint &=3mu0Q8pi R^3l(R^23-r^25r),omegatimesr, Bint &=mu0Q20pi R^3l[3(omegacdotr),r+(5R^2-6r^2),omegar]

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