Um cubo liso de massa
e face de comprimento
desliza com velocidade
em uma superficie horizontal com atrito desprezível. O cubo, então, se move para cima em uma rampa que faz ângulo
com a horizontal. Um cilindro de massa
e raio
rola sem escorregar com seu centro de massa, movendo-se com velocidade
, e chega a uma rampa com o mesmo ângulo de inclinação, mas sem atrito suficiente para que continue a rolar sem escorregar. (a) Qual corpo sobe uma distância maior na rampa?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos precisar. Temos dois corpos: um cubo deslizando sem atrito e um cilindro rolando sem escorregar. Ambos têm a mesma massa
e estão subindo uma rampa com o mesmo ângulo
. Queremos descobrir qual dos dois sobe mais na rampa.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia cinética e energia potencial gravitacional. Precisamos calcular a energia que cada corpo possui no início e ver qual deles consegue converter mais energia em altura na rampa.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a energia cinética do cubo. Como ele está apenas deslizando sem rotacionar, toda a sua energia cinética é devida ao movimento de translação. A fórmula para energia cinética de translação é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a energia cinética do cilindro. Diferente do cubo, o cilindro está rolando sem escorregar, o que significa que ele tem energia cinética tanto de translação quanto de rotação. A energia cinética total do cilindro é dada por:
Onde:
-
é o momento de inércia do cilindro. Para um cilindro sólido, . -
é a velocidade angular, que está relacionada à velocidade linear pela equação .
Substituindo
e
:
Passo 4
Agora, vamos pensar em como essa energia cinética se transforma em energia potencial quando os corpos sobem na rampa. A energia potencial gravitacional é dada por:
Onde
é a altura que o corpo sobe. Na rampa com ângulo
, a relação entre a altura
e a distância
percorrida na rampa é:
Igualando a energia cinética inicial à energia potencial no ponto mais alto:
Para o cubo:
Para o cilindro:
Passo 5
Comparando as alturas:
Ou seja, a altura que o cilindro alcança é
da altura que o cubo alcança. Mas, atenção! A distância na rampa depende da altura e do ângulo:
Como o ângulo
é o mesmo para ambos, a relação das distâncias será a mesma que a das alturas.
Resposta
O cubo sobe uma distância maior na rampa.