Um cubo liso de massa e face de comprimento desliza com velocidade em uma superficie horizontal com atrito desprezível. O cubo, então, se move para cima em uma rampa que faz ângulo com a horizontal. Um cilindro de massa e raio rola sem escorregar com seu centro de massa, movendo-se com velocidade , e chega a uma rampa com o mesmo ângulo de inclinação, mas sem atrito suficiente para que continue a rolar sem escorregar. (a) Qual corpo sobe uma distância maior na rampa?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos precisar. Temos dois corpos: um cubo deslizando sem atrito e um cilindro rolando sem escorregar. Ambos têm a mesma massa e estão subindo uma rampa com o mesmo ângulo . Queremos descobrir qual dos dois sobe mais na rampa.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia cinética e energia potencial gravitacional. Precisamos calcular a energia que cada corpo possui no início e ver qual deles consegue converter mais energia em altura na rampa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia cinética do cubo. Como ele está apenas deslizando sem rotacionar, toda a sua energia cinética é devida ao movimento de translação. A fórmula para energia cinética de translação é:
é

Passo 3

Agora, vamos calcular a energia cinética do cilindro. Diferente do cubo, o cilindro está rolando sem escorregar, o que significa que ele tem energia cinética tanto de translação quanto de rotação. A energia cinética total do cilindro é dada por:
é
Onde:
  • é o momento de inércia do cilindro. Para um cilindro sólido, .
  • é a velocidade angular, que está relacionada à velocidade linear pela equação .
Substituindo e :
é

Passo 4

Agora, vamos pensar em como essa energia cinética se transforma em energia potencial quando os corpos sobem na rampa. A energia potencial gravitacional é dada por:
Onde é a altura que o corpo sobe. Na rampa com ângulo , a relação entre a altura e a distância percorrida na rampa é:
Igualando a energia cinética inicial à energia potencial no ponto mais alto:
Para o cubo:
Para o cilindro:

Passo 5

Comparando as alturas:
Ou seja, a altura que o cilindro alcança é da altura que o cubo alcança. Mas, atenção! A distância na rampa depende da altura e do ângulo:
Como o ângulo é o mesmo para ambos, a relação das distâncias será a mesma que a das alturas.

Resposta

O cubo sobe uma distância maior na rampa.

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