Um cubo liso de massa
e face de comprimento
desliza com velocidade
em uma superficie horizontal com atrito desprezível. O cubo, então, se move para cima em uma rampa que faz ângulo
com a horizontal. Um cilindro de massa
e raio
rola sem escorregar com seu centro de massa, movendo-se com velocidade
, e chega a uma rampa com o mesmo ângulo de inclinação, mas sem atrito suficiente para que continue a rolar sem escorregar. © Explique o que justifica esta diferença nas distâncias percorridas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a diferença nas distâncias que um cubo deslizando e um cilindro rolando percorrem em uma rampa inclinada. A matéria envolvida aqui é a Energia em Sistemas Mecânicos, especialmente os conceitos de energia cinética translacional e energia cinética rotacional. Para resolver, vamos precisar entender como a energia é distribuída nesses objetos quando eles se movem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando um objeto se move, ele tem energia cinética. Para o cubo que está deslizando, toda essa energia é cinética translacional, ou seja, está relacionada ao movimento para frente. A fórmula dessa energia é:
Onde:
-
é a massa do objeto -
é a velocidade
Passo 3
Agora, para o cilindro que está rolando, a coisa muda um pouco. Além da energia cinética translacional, ele também tem energia cinética rotacional porque está girando enquanto se move. A energia cinética rotacional é dada por:
Onde:
-
é o momento de inércia do cilindro -
é a velocidade angular
Passo 4
Para um cilindro sólido, o momento de inércia
é:
E como o cilindro está rolando sem escorregar, a velocidade angular
está relacionada à velocidade linear
pela relação:
Passo 5
Substituindo
na fórmula da energia rotacional, temos:
Então, a energia total do cilindro rolando é a soma da energia translacional e rotacional:
Passo 6
Quando ambos, o cubo e o cilindro, sobem a rampa, eles convertem sua energia cinética em energia potencial gravitacional. A energia potencial é dada por:
Onde:
-
é a aceleração da gravidade -
é a altura alcançada
Como a rampa tem um ângulo
, a altura
está relacionada à distância percorrida
pela relação:
Passo 7
Vamos igualar a energia total dos objetos à energia potencial na rampa:
Para o cubo:
Simplificando:
Para o cilindro:
Simplificando:
Passo 8
Comparando as duas distâncias:
Isso mostra que o cilindro percorre uma distância menor na rampa do que o cubo.
Resposta
A diferença nas distâncias percorridas ocorre porque o cilindro, além da energia translacional, utiliza parte da energia para girar, reduzindo a energia disponível para subir na rampa. Já o cubo só usa energia translacional, permitindo que percorra uma distância maior.