Um cubo liso de massa e face de comprimento desliza com velocidade em uma superficie horizontal com atrito desprezível. O cubo, então, se move para cima em uma rampa que faz ângulo com a horizontal. Um cilindro de massa e raio rola sem escorregar com seu centro de massa, movendo-se com velocidade , e chega a uma rampa com o mesmo ângulo de inclinação, mas sem atrito suficiente para que continue a rolar sem escorregar. © Explique o que justifica esta diferença nas distâncias percorridas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a diferença nas distâncias que um cubo deslizando e um cilindro rolando percorrem em uma rampa inclinada. A matéria envolvida aqui é a Energia em Sistemas Mecânicos, especialmente os conceitos de energia cinética translacional e energia cinética rotacional. Para resolver, vamos precisar entender como a energia é distribuída nesses objetos quando eles se movem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando um objeto se move, ele tem energia cinética. Para o cubo que está deslizando, toda essa energia é cinética translacional, ou seja, está relacionada ao movimento para frente. A fórmula dessa energia é:
Onde:
  • é a massa do objeto
  • é a velocidade

Passo 3

Agora, para o cilindro que está rolando, a coisa muda um pouco. Além da energia cinética translacional, ele também tem energia cinética rotacional porque está girando enquanto se move. A energia cinética rotacional é dada por:
Onde:
  • é o momento de inércia do cilindro
  • é a velocidade angular

Passo 4

Para um cilindro sólido, o momento de inércia é:
E como o cilindro está rolando sem escorregar, a velocidade angular está relacionada à velocidade linear pela relação:

Passo 5

Substituindo na fórmula da energia rotacional, temos:
Então, a energia total do cilindro rolando é a soma da energia translacional e rotacional:

Passo 6

Quando ambos, o cubo e o cilindro, sobem a rampa, eles convertem sua energia cinética em energia potencial gravitacional. A energia potencial é dada por:
Onde:
  • é a aceleração da gravidade
  • é a altura alcançada
Como a rampa tem um ângulo , a altura está relacionada à distância percorrida pela relação:

Passo 7

Vamos igualar a energia total dos objetos à energia potencial na rampa:
Para o cubo:
Simplificando:
Para o cilindro:
Simplificando:

Passo 8

Comparando as duas distâncias:
Isso mostra que o cilindro percorre uma distância menor na rampa do que o cubo.

Resposta

A diferença nas distâncias percorridas ocorre porque o cilindro, além da energia translacional, utiliza parte da energia para girar, reduzindo a energia disponível para subir na rampa. Já o cubo só usa energia translacional, permitindo que percorra uma distância maior.

Exercícios de Livros Relacionados