**21. (a) Deduza uma expressão para a velocidade do elétron na enésima órbita de Bohr, em termos de
, e das constantes
e
. Para o átomo de hidrogênio, determine a velocidade (b) na órbita
e (c) na órbita
. (d) Em geral, quando as velocidades são menores do que um décimo da velocidade de propagação da luz, os efeitos da relatividade especial podem ser ignorados. As velocidades determinadas em (b) e (c) estão consistentes com ignorar efeitos relativísticos no modelo de Bohr?
Passo 1
O enunciado pede a velocidade
do elétron na
-ésima órbita do modelo de Bohr, em função de
,
e das constantes
,
e
. Vamos usar dois pilares do modelo de Bohr:
- A condição de equilíbrio centrípeto fornecida pela força de Coulomb,
- A quantização do momento angular.
Passo 2
A força de Coulomb entre o núcleo (carga
) e o elétron (carga
) a uma distância
é
Para o movimento circular, essa força fornece a aceleração centrípeta, isto é,
Logo
Passo 3
A quantização do momento angular no modelo de Bohr diz
Desse vínculo podemos isolar
:
Substituindo em
, obtemos
Cancelando a solução trivial
e isolando
, resulta
Passo 4
Para o átomo de hidrogênio
na órbita
, basta colocar
e
:
Usando
,N·
/
,
,C e
,
, temos numericamente
Passo 5
Na órbita
, a fórmula dá
Passo 6
Para verificar a importância de efeitos relativísticos, comparamos
com a velocidade da luz
,m/s.
Em ambos os casos
, logo os efeitos relativísticos são realmente desprezíveis e o modelo de Bohr é auto-consistente nessas órbitas.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) Sim, pois
e
, ambos muito menores que
.