**21. (a) Deduza uma expressão para a velocidade do elétron na enésima órbita de Bohr, em termos de Z, n, e das constantes k, e e h. Para o átomo de hidrogênio, determine a velocidade (b) na órbita n=1 e (c) na órbita n=2. (d) Em geral, quando as velocidades são menores do que um décimo da velocidade de propagação da luz, os efeitos da relatividade especial podem ser ignorados. As velocidades determinadas em (b) e (c) estão consistentes com ignorar efeitos relativísticos no modelo de Bohr?

Passo 1

O enunciado pede a velocidade v_n do elétron na n-ésima órbita do modelo de Bohr, em função de Z, n e das constantes k, e e h. Vamos usar dois pilares do modelo de Bohr:
  1. A condição de equilíbrio centrípeto fornecida pela força de Coulomb,
  2. A quantização do momento angular.

Passo 2

A força de Coulomb entre o núcleo (carga +Ze) e o elétron (carga -e) a uma distância r é
F_C = \frac{k\,Z e^2}{r^2}.
Para o movimento circular, essa força fornece a aceleração centrípeta, isto é,
F_C = m\,\frac{v^2}{r}.
Logo
\frac{k\,Z e^2}{r^2} = m\,\frac{v^2}{r} \quad\Longrightarrow\quad v^2 = \frac{k\,Z e^2}{m\,r}.

Passo 3

A quantização do momento angular no modelo de Bohr diz
m\,v\,r = \frac{n\,h}{2\pi}.
Desse vínculo podemos isolar r:
r = \frac{n\,h}{2\pi\,m\,v}.
Substituindo em v^2 = \tfrac{k\,Z e^2}{m\,r}, obtemos
v^2 = \frac{k\,Z e^2}{m} \cdot\frac{2\pi\,m\,v}{n\,h} = \frac{2\pi\,k\,Z e^2}{n\,h}\,v.
Cancelando a solução trivial v=0 e isolando v, resulta
v_n = \frac{2\pi\,k\,Z e^2}{n\,h}.

Passo 4

Para o átomo de hidrogênio Z=1 na órbita n=1, basta colocar Z=1 e n=1:
v_1 = \frac{2\pi\,k\,e^2}{h}.
Usando k=8{,}99\times10^9,N· m^{2}/ C^{2}, e=1{,}602\times10^{-19},C e h=6{,}626\times10^{-34}, J\cdot s, temos numericamente
v_1 \approx 2{,}19\times10^6\\ \text{m/s}.

Passo 5

Na órbita n=2, a fórmula dá
v_2 = \frac{2\pi\,k\,e^2}{2\,h} = \frac{v_1}{2} \approx 1{,}10\times10^6\\ \text{m/s}.

Passo 6

Para verificar a importância de efeitos relativísticos, comparamos v com a velocidade da luz c\approx3{,}0\times10^8,m/s.
\frac{v_1}{c}\approx\frac{2{,}19\times10^6}{3{,}0\times10^8}\approx0{,}0073, \quad \frac{v_2}{c}\approx0{,}0037.
Em ambos os casos v/c<0{,}1, logo os efeitos relativísticos são realmente desprezíveis e o modelo de Bohr é auto-consistente nessas órbitas.

Resposta

(a) \displaystyle v_n = \frac{2\pi\,k\,Z e^2}{n\,h}.
(b) \displaystyle v_1 \approx 2{,}19\times10^6\\ \text{m/s}.
(c) \displaystyle v_2 \approx 1{,}10\times10^6\\ \text{m/s}.
(d) Sim, pois v_1/c\approx0{,}0073 e v_2/c\approx0{,}0037, ambos muito menores que 0{,}1.

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