*20. O lítio duplamente ionizado \mathrm{Li}^{2+}(Z=3) e o berílio triplamente ionizado \mathrm{Be}^{3+}(Z=4) emitem, cada um, um espectro de linhas. Para certa série de linhas no espectro do lítio, o menor comprimento de onda é igual a 40,5 \mathrm{~nm}. Para a mesma série de linhas no espectro do berílio, qual o menor comprimento de onda?

Passo 1

O enunciado diz que temos íons hidrogenoides: o lítio duplamente ionizado \mathrm{Li}^{2+} com Z=3 e o berílio triplamente ionizado \mathrm{Be}^{3+} com Z=4. Para uma certa série de linhas no espectro do \mathrm{Li}^{2+}, o menor comprimento de onda (série–limite) é \lambda_{\text{Li}}=40{,}5\\ \mathrm{nm}. Queremos achar o menor comprimento de onda \lambda_{\text{Be}} dessa mesma série no \mathrm{Be}^{3+}. O conteúdo central é o uso da fórmula de Rydberg para íons hidrogenoides.

Passo 2

A fórmula de Rydberg para um átomo hidrogenoide é
\frac{1}{\lambda} \;=\; Z^2\,R\;\Bigl(\frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2}\Bigr),
onde R é a constante de Rydberg do hidrogênio e n_1<n_2 são os níveis envolvidos.

Passo 3

No caso do menor comprimento de onda da série, temos n_2\to\infty, então 1/n_2^2\to0 e
\frac{1}{\lambda_{\min}} \;=\; \frac{Z^2\,R}{n_1^2} \quad\Longrightarrow\quad \lambda_{\min} \;=\;\frac{n_1^2}{Z^2\,R}.

Passo 4

Para \mathrm{Li}^{2+} Z=3:
\lambda_{\text{Li}} =\frac{n_1^2}{3^2\,R} =\frac{n_1^2}{9\,R}.
Para \mathrm{Be}^{3+} Z=4:
\lambda_{\text{Be}} =\frac{n_1^2}{4^2\,R} =\frac{n_1^2}{16\,R}.

Passo 5

Dividindo as duas expressões:
\frac{\lambda_{\text{Be}}}{\lambda_{\text{Li}}} =\frac{\bigl(n_1^2/(16\,R)\bigr)}{\bigl(n_1^2/(9\,R)\bigr)} =\frac{9}{16} \quad\Longrightarrow\quad \lambda_{\text{Be}} =\frac{9}{16}\,\lambda_{\text{Li}}.

Passo 6

Substituindo \lambda_{\text{Li}}=40{,}5\\ \mathrm{nm}:
\lambda_{\text{Be}} =\frac{9}{16}\times40{,}5\\ \mathrm{nm} \approx22{,}8\\ \mathrm{nm}.

Resposta

O menor comprimento de onda da mesma série no \mathrm{Be}^{3+} é aproximadamente 22{,}8\\ \mathrm{nm}.

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