-48. Dê os desvios do comprimento de onda, no efeito Doppler longitudinal relativístico para a linha D_{1} do sódio ( 5896 A ), para a fonte e o observador se aproximando com velocidades relativas de 0,1 c, 0,4 c e 0,8 c. É o resultado clássico (primeira ordem) uma boa aproximação?
49. Dê o desvio do comprimento de onda no efeito Doppler relativístico para a linha H_{\alpha} de 6563 \AA, emitida por uma estrêla se afastando da Terra, com uma velocidade relativa de 10^{-3} \mathrm{c}, 10^{-2} \mathrm{c} e 10^{-1} \mathrm{c}. É o resultado clássico (primeira ordem) uma boa aproximação?

Passo 1

O enunciado pede o desvio de comprimento de onda no efeito Doppler longitudinal relativístico para duas linhas espectrais: a linha D_{1} do sódio ( 5896,\AA) com fonte e observador se aproximando a velocidades \beta=v/c=0,1, 0,4 e 0,8; e a linha H_{\alpha} ( 6563,\AA) emitida por estrela se afastando da Terra a velocidades \beta=10^{-3}, 10^{-2} e 10^{-1}. Queremos também comparar com o resultado clássico de primeira ordem.

Passo 2

A fórmula relativística para o deslocamento longitudinal é:
\lambda_{\rm obs} = \lambda_{\rm em}\sqrt{\frac{1\mp\beta}{1\pm\beta}}
onde o sinal “ -” na raiz corresponde a aproximação (blueshift) e “ +” ao afastamento (redshift). Definimos
\Delta\lambda_{\rm rel} = \lambda_{\rm obs}-\lambda_{\rm em}.
Na aproximação clássica de primeira ordem vale
\Delta\lambda_{\rm class}\approx \pm\beta\,\lambda_{\rm em},
com sinal “ -” para aproximação e “ +” para afastamento.

Passo 3

Aplicando ao sódio D_{1} ( \lambda_{\rm em}=5896,\AA) em aproximação:
– Para \beta=0,1:
\sqrt{\frac{1-0,1}{1+0,1}}=\sqrt{\tfrac{0,9}{1,1}}\approx0,9045, \quad \lambda_{\rm obs}\approx5896\times0,9045\approx5333\\ \text{\AA},
\Delta\lambda_{\rm rel}=5333-5896\approx-563\\ \text{\AA}, \quad \Delta\lambda_{\rm class}=-0,1\times5896=-590\\ \text{\AA},
diferença relativa \approx4{,}6\%.
– Para \beta=0,4:
\sqrt{\frac{1-0,4}{1+0,4}}=\sqrt{\tfrac{0,6}{1,4}}\approx0,6547, \quad \lambda_{\rm obs}\approx5896\times0,6547\approx3858\\ \text{\AA},
\Delta\lambda_{\rm rel}=3858-5896\approx-2038\\ \text{\AA}, \quad \Delta\lambda_{\rm class}=-0,4\times5896=-2358\\ \text{\AA},
diferença relativa \approx13{,}6\%.
– Para \beta=0,8:
\sqrt{\frac{1-0,8}{1+0,8}}=\sqrt{\tfrac{0,2}{1,8}}\approx0,3333, \quad \lambda_{\rm obs}\approx5896\times0,3333\approx1965\\ \text{\AA},
\Delta\lambda_{\rm rel}=1965-5896\approx-3931\\ \text{\AA}, \quad \Delta\lambda_{\rm class}=-0,8\times5896=-4717\\ \text{\AA},
diferença relativa \approx16{,}7\%.

Passo 4

Aplicando a H_{\alpha} ( \lambda_{\rm em}=6563,\AA) em afastamento:
– Para \beta=10^{-3}:
\sqrt{\frac{1+10^{-3}}{1-10^{-3}}}\approx1,0010005, \quad \lambda_{\rm obs}\approx6563\times1,0010005\approx6569,6\\ \text{\AA},
\Delta\lambda_{\rm rel}=+6,6\\ \text{\AA}, \quad \Delta\lambda_{\rm class}=+0,001\times6563=+6,6\\ \text{\AA},
diferença \sim0{,}05\%.
– Para \beta=10^{-2}:
\sqrt{\frac{1+10^{-2}}{1-10^{-2}}}\approx1,01005, \quad \lambda_{\rm obs}\approx6563\times1,01005\approx6628,9\\ \text{\AA},
\Delta\lambda_{\rm rel}=+65,9\\ \text{\AA}, \quad \Delta\lambda_{\rm class}=+0,01\times6563=+65,6\\ \text{\AA},
diferença \sim0{,}5\%.
– Para \beta=10^{-1}:
\sqrt{\frac{1+0,1}{1-0,1}}=\sqrt{\tfrac{1,1}{0,9}}\approx1,10554, \quad \lambda_{\rm obs}\approx6563\times1,10554\approx6917,7\\ \text{\AA},
\Delta\lambda_{\rm rel}=+354,7\\ \text{\AA}, \quad \Delta\lambda_{\rm class}=+0,1\times6563=+656,3\\ \text{\AA},
diferença \approx5{,}6\%.

Passo 5

Para velocidades baixas ( \beta\lesssim10^{-2}) o resultado clássico de primeira ordem difere menos de 1\% do valor relativístico, portanto é boa aproximação. Para \beta\gtrsim0,1 o erro já ultrapassa alguns por cento e a fórmula clássica deixa de ser aceitável.

Resposta

48. Linha D_{1} ( 5896,\AA), aproximação:
\beta=0,1: \Delta\lambda_{\rm rel}\approx-563,\AA\ (clássico -590,\AA, erro 4{,}6\%);
\beta=0,4: \Delta\lambda_{\rm rel}\approx-2038,\AA\ (clássico -2358,\AA, erro 13{,}6\%);
\beta=0,8: \Delta\lambda_{\rm rel}\approx-3931,\AA\ (clássico -4717,\AA, erro 16{,}7\%).
Aproximação clássica é razoável só para \beta\lesssim0,1, piora bastante acima.
49. Linha H_{\alpha} ( 6563,\AA), afastamento:
\beta=10^{-3}: \Delta\lambda_{\rm rel}\approx+6{,}6,\AA\ (clássico +6{,}6,\AA, erro 0{,}05\%);
\beta=10^{-2}: \Delta\lambda_{\rm rel}\approx+65{,}9,\AA\ (clássico +65{,}6,\AA, erro 0{,}5\%);
\beta=10^{-1}: \Delta\lambda_{\rm rel}\approx+354{,}7,\AA\ (clássico +656{,}3,\AA, erro 5{,}6\%).
Aproximação clássica é boa para \beta\le10^{-2}, mas falha para \beta\sim10^{-1}.

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