Suponha que uma partícula se mova em relação ao sistema com linha, com a velocidade u^{\prime} no plano x^{\prime}-y^{\prime}, tal que a sua trajetória forme um ângulo \theta^{\prime} com o eixo x^{\prime}. (a) Mostre que as suas equações de movimento em S^{\prime} são dadas por: x^{\prime}=u^{\prime} t^{\prime} \cos \theta^{\prime}, y^{\prime}=u^{\prime} t^{\prime} \operatorname{sen} \theta^{\prime}, z^{\prime}=0(b) No sistema S, a velocidade correspondente u e o ângulo \theta serão dados pelas equações
x=u t \cos \theta, \quad y=u t \operatorname{sen} \theta, \quad z=0
Justifique esta afirmação. (c) Mostre, usando as equações de transformação de Lorentz, que o módulo e a direção da velocidade em S são dados por
u^{2}=\frac{u^{\prime 2}+v^{2}+2 u^{\prime} v \cos \theta^{\prime}-\left(u^{\prime 2} v^{2} / c^{2}\right) \operatorname{sen}^{2} \theta^{\prime}}{\left[1+\left(u^{\prime} v / c^{2}\right) \cos \theta^{\prime}\right]^{2}}
\operatorname{tg} \theta=\frac{u^{\prime} \operatorname{sen} \theta^{\prime} \sqrt{1-\beta^{2}}}{u^{\prime} \cos \theta^{\prime}+v}
(d) Como se relaciona êste resultado com a equação relativistica da aberração da luz, eq. 2-27a? (Sugestão. O que é u’ no caso da luz?) (e) Mostre que a expressão para u^{2} na parte ( c ) é idêntica àquela obtida usando as eqs. 2-18 e 2-19 \operatorname{com} u^{2}=u_{x}+u_{y}^{2}.

Passo 1

O enunciado trata de uma partícula que no referencial S' se move no plano x'y' com velocidade constante u', fazendo ângulo \theta' com o eixo x'. Temos um segundo referencial S que se move em relação a S' com velocidade v ao longo de x. Precisamos:
– (a) escrever as equações de movimento em S';
– (b) justificar que em S a forma paramétrica é análoga;
– (c) usar as transformações de Lorentz para obter o módulo u e a direção \theta em S;
– (d) relacionar com a aberração relativística da luz;
– (e) mostrar que o u^2 de (c) coincide com o obtido diretamente de u_x e u_y.

Passo 2

(a) Em S' a partícula tem velocidade constante u' e, por definição de componente,
u'_x = u' \cos\theta',\quad u'_y = u' \sin\theta',\quad u'_z = 0.
Como posição é velocidade vezes tempo,
x' = u'_x\,t' = u'\,t'\cos\theta',\quad y' = u'_y\,t' = u'\,t'\sin\theta',\quad z' = 0.

Passo 3

(b) No referencial S a partícula também terá uma representação paramétrica da forma
x = u\,t\cos\theta,\quad y = u\,t\sin\theta,\quad z = 0,
pois u e \theta são apenas a velocidade resultante e o ângulo medidos em S. A mesma lógica de “posição = componente de velocidade \times tempo” vale em qualquer inercial.

Passo 4

(c) Usamos as transformações de Lorentz (movendo-se S com velocidade v ao longo de x):
x = \gamma\bigl(x' + v\,t'\bigr),\quad t = \gamma\bigl(t' + \tfrac{v\,x'}{c^2}\bigr),\quad y = y',\quad z=0,
onde \gamma = 1/\sqrt{1-\beta^2} e \beta=v/c.
Então
u_x = \frac{dx}{dt} = \frac{\gamma\,(dx'/dt' + v)}{\gamma\,(1 + \tfrac{v}{c^2}dx'/dt')} = \frac{u'\cos\theta' + v}{1 + \tfrac{v\,u'\cos\theta'}{c^2}},
u_y = \frac{dy}{dt} = \frac{dy'/dt'}{\gamma\,(1 + \tfrac{v\,u'\cos\theta'}{c^2})} = \frac{u'\sin\theta'}{\gamma\bigl(1+\tfrac{v\,u'\cos\theta'}{c^2}\bigr)}.
Logo o módulo u e o ângulo \theta satisfazem
u^2 = u_x^2 + u_y^2 = \frac{(u'\cos\theta' + v)^2 + (1-\beta^2)\,u'^2\sin^2\theta'} {\bigl(1 + \tfrac{v\,u'\cos\theta'}{c^2}\bigr)^{2}},
que, ao expandir (1-\beta^2)=1-\tfrac{v^2}{c^2}, vira
u^{2} =\frac{u'^{2}+v^{2}+2u'v\cos\theta'-\tfrac{u'^{2}v^{2}}{c^{2}}\sin^{2}\theta'} {\bigl[1+\tfrac{u'v}{c^{2}}\cos\theta'\bigr]^{2}}.
E
\tan\theta = \frac{u_y}{u_x} = \frac{u'\sin\theta'\,\sqrt{1-\beta^2}}{u'\cos\theta' + v}.

Passo 5

(d) No caso da luz temos u' = c. Substituindo em
\displaystyle \cos\theta = \frac{1}{\sqrt{1+\tan^2\theta}},
obtém-se exatamente a fórmula da aberração relativística
\cos\theta = \frac{\cos\theta' + \beta}{1 + \beta\,\cos\theta'},
que é a eq. 2- 27a.

Passo 6

(e) Se calcularmos u^2 = u_x^2 + u_y^2 usando diretamente
u_x = \frac{u'\cos\theta'+v}{1+\tfrac{v\,u'\cos\theta'}{c^2}},\quad u_y = \frac{u'\sin\theta'}{\gamma\bigl(1+\tfrac{v\,u'\cos\theta'}{c^2}\bigr)},
chegamos ao mesmo
\displaystyle u^{2} =\frac{u'^{2}+v^{2}+2u'v\cos\theta'-\tfrac{u'^{2}v^{2}}{c^{2}}\sin^{2}\theta'} {\bigl[1+\tfrac{u'v}{c^{2}}\cos\theta'\bigr]^{2}},
confirmando a coerência das duas abordagens.

Resposta

(a) x'=u't'\cos\theta',\;y'=u't'\sin\theta',\;z'=0
(b) Em S vale analogamente x=ut\cos\theta,\;y=ut\sin\theta,\;z=0
(c)
u^{2} =\frac{u'^{2}+v^{2}+2u'v\cos\theta'-\tfrac{u'^{2}v^{2}}{c^{2}}\sin^{2}\theta'} {\bigl[1+\tfrac{u'v}{c^{2}}\cos\theta'\bigr]^{2}},\quad \tan\theta =\frac{u'\sin\theta'\,\sqrt{1-\beta^{2}}}{u'\cos\theta'+v}
(d) Para luz ( u'=c) recupera-se
\displaystyle \cos\theta=\frac{\cos\theta'+\beta}{1+\beta\cos\theta'}.
(e) O u^2 acima coincide com u_x^2+u_y^2 obtido pelas eqs. 2- 18 e 2- 19.

Exercícios de Livros Relacionados