Suponha que uma partícula se mova em relação ao sistema com linha, com a velocidade
no plano
, tal que a sua trajetória forme um ângulo
com o eixo
. (a) Mostre que as suas equações de movimento em
são dadas por:
No sistema
, a velocidade correspondente
e o ângulo
serão dados pelas equações
Justifique esta afirmação. (c) Mostre, usando as equações de transformação de Lorentz, que o módulo e a direção da velocidade em
são dados por
(d) Como se relaciona êste resultado com a equação relativistica da aberração da luz, eq. 2-27a? (Sugestão. O que é u’ no caso da luz?) (e) Mostre que a expressão para
na parte (
) é idêntica àquela obtida usando as eqs. 2-18 e
.
Passo 1
O enunciado trata de uma partícula que no referencial
se move no plano
com velocidade constante
, fazendo ângulo
com o eixo
. Temos um segundo referencial
que se move em relação a
com velocidade
ao longo de
. Precisamos:
– (a) escrever as equações de movimento em ;
– (b) justificar que em a forma paramétrica é análoga;
– (c) usar as transformações de Lorentz para obter o módulo e a direção
em
;
– (d) relacionar com a aberração relativística da luz;
– (e) mostrar que o de (c) coincide com o obtido diretamente de
e
.
– (a) escrever as equações de movimento em
– (b) justificar que em
– (c) usar as transformações de Lorentz para obter o módulo
– (d) relacionar com a aberração relativística da luz;
– (e) mostrar que o
Passo 2
(a) Em
a partícula tem velocidade constante
e, por definição de componente,
Como posição é velocidade vezes tempo,
Passo 3
(b) No referencial
a partícula também terá uma representação paramétrica da forma
pois
e
são apenas a velocidade resultante e o ângulo medidos em
. A mesma lógica de “posição
componente de velocidade
tempo” vale em qualquer inercial.
Passo 4
(c) Usamos as transformações de Lorentz (movendo-se
com velocidade
ao longo de
):
onde
e
.
Então
Então
Logo o módulo
e o ângulo
satisfazem
que, ao expandir
, vira
E
Passo 5
(d) No caso da luz temos
. Substituindo em
obtém-se exatamente a fórmula da aberração relativística
obtém-se exatamente a fórmula da aberração relativística
que é a eq.
-
a.
Passo 6
(e) Se calcularmos
usando diretamente
chegamos ao mesmo
confirmando a coerência das duas abordagens.
confirmando a coerência das duas abordagens.
Resposta
(a)
(b) Em vale analogamente
(c)
(b) Em
(c)
(d) Para luz (
) recupera-se
.
(e) O acima coincide com
obtido pelas eqs.
-
e
-
.
(e) O