Duas espaçonaves, cada uma com 100 m de comprimento próprio, passam perto uma da outra, dirigindo-se em sentidos opostos. Se um astronauta na frente de uma nave mede um intervalo de tempo de 2,50 \times 10^{-6} \mathrm{seg}. para que a segunda nave passe por êle, então (a) qual é a velocidade relativa das espaçonaves? (b) Que intervalo de tempo é medido na primeira nave para que a frente da segunda nave passe desde a frente até o fim da primeira nave?

Passo 1

O enunciado descreve duas naves, cada uma com comprimento próprio L_0 = 100\\ \mathrm{m}, que se aproximam em sentidos opostos com velocidade relativa v. Um astronauta na frente de uma nave mede um intervalo de tempo
\Delta t = 2{,}50\times10^{-6}\\ \mathrm{s}
para que a segunda nave passe completamente por ele.
Conteúdo: relatividade restrita, contração de comprimentos e relação entre comprimento contraído e intervalo de tempo medido em um dado referencial.

Passo 2

No referencial da primeira nave (onde o astronauta está parado), a segunda nave aparece contraída a
L = \frac{L_0}{\gamma},
sendo
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}.
O tempo que a nave contraída leva para passar pelo observador é
\Delta t = \frac{L}{v} = \frac{L_0}{\gamma\,v}.

Passo 3

Da equação
\Delta t = \frac{L_0}{\gamma\,v} \quad\Longrightarrow\quad 2{,}50\times10^{-6} = \frac{100}{\gamma\,v}
temos
\gamma\,v = \frac{100}{2{,}50\times10^{-6}} =4{,}00\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}.
Escrevendo v=\beta c, com c=3{,}00\times10^8\\ \mathrm{m/s},
\gamma\,v = \frac{\beta c}{\sqrt{1-\beta^2}} = 4{,}00\times10^{7}.
Definindo x=\beta^2, resolve-se
\beta^2(1-\beta^2)=(0{,}1333)^2\approx0{,}01778
cuja solução fisicamente relevante é
\beta = \sqrt{0{,}0181}\approx0{,}1346 \quad\Longrightarrow\quad v = \beta\,c \approx 0{,}1346\,c = 4{,}04\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Para o intervalo de tempo em que a frente da segunda nave vai da frente ao fim da primeira, basta percorrer o comprimento próprio L_0=100\\ \mathrm{m} com velocidade v. Logo,
\Delta t' = \frac{L_0}{v} = \frac{100}{4{,}04\times10^{7}} \approx 2{,}48\times10^{-6}\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Reunindo os resultados:

Resposta

(a) v = 4{,}04\times10^{7}\\ \mathrm{m/s} (isto é, 0{,}1346\,c).
(b) \Delta t' = 2{,}48\times10^{-6}\\ \mathrm{s}.

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