Determine o raio da órbita e a velocidade que um satélite deve ter para girar em torno da Lua com a mesma velocidade angular dela, e submetido apenas à sua força de gravidade.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio da órbita e a velocidade que um satélite deve ter para girar em torno da Lua com a mesma velocidade angular dela, usando só a força de gravidade. Basicamente, vamos usar conceitos de Gravitação Universal e Movimento Circular para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a velocidade angular da Lua. A Lua completa uma volta ao redor da Terra em cerca de 27,3 dias. A velocidade angular (
) é dada por:
onde
é o período de rotação.
Passo 3
Vamos converter o período
de dias para segundos para facilitar os cálculos:
Passo 4
Agora, calculamos a velocidade angular (
) da Lua:
Passo 5
Para que o satélite tenha a mesma velocidade angular, a força centrípeta necessária deve ser fornecida apenas pela força de gravidade da Lua. A força de gravidade (
) é:
E a força centrípeta (
) é:
Passo 6
Igualando as duas forças (
) e simplificando (a massa
cancela):
Rearranjando para encontrar o raio
:
Passo 7
Vamos inserir os valores:
- Constante gravitacional
- Massa da Lua
- Velocidade angular
Passo 8
Calculando o valor dentro da raiz cúbica:
Passo 9
Agora que temos o raio da órbita (
), podemos calcular a velocidade orbital (
) usando:
Resposta
O satélite precisa orbitar a aproximadamente
metros da Lua e ter uma velocidade orbital de cerca de
metros por segundo para girar com a mesma velocidade angular da Lua, usando apenas a força de gravidade.