Determine o raio da órbita e a velocidade que um satélite deve ter para girar em torno da Lua com a mesma velocidade angular dela, e submetido apenas à sua força de gravidade.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio da órbita e a velocidade que um satélite deve ter para girar em torno da Lua com a mesma velocidade angular dela, usando só a força de gravidade. Basicamente, vamos usar conceitos de Gravitação Universal e Movimento Circular para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a velocidade angular da Lua. A Lua completa uma volta ao redor da Terra em cerca de 27,3 dias. A velocidade angular ( ) é dada por:
onde é o período de rotação.

Passo 3

Vamos converter o período de dias para segundos para facilitar os cálculos:

Passo 4

Agora, calculamos a velocidade angular ( ) da Lua:

Passo 5

Para que o satélite tenha a mesma velocidade angular, a força centrípeta necessária deve ser fornecida apenas pela força de gravidade da Lua. A força de gravidade ( ) é:
E a força centrípeta ( ) é:

Passo 6

Igualando as duas forças ( ) e simplificando (a massa cancela):
Rearranjando para encontrar o raio :

Passo 7

Vamos inserir os valores:
  • Constante gravitacional
  • Massa da Lua
  • Velocidade angular

Passo 8

Calculando o valor dentro da raiz cúbica:

Passo 9

Agora que temos o raio da órbita ( ), podemos calcular a velocidade orbital ( ) usando:

Resposta

O satélite precisa orbitar a aproximadamente metros da Lua e ter uma velocidade orbital de cerca de metros por segundo para girar com a mesma velocidade angular da Lua, usando apenas a força de gravidade.

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