Uma nave está em órbita natural (com sistema de propulsão desligado) em torno da Terra com velocidade v. O comandante resolve então mudar de órbita e, por meio do seu sistema de propulsão, a nave é transferida para uma órbita cujo raio é diminuído do original, onde fica novamente com o sistema de propulsão desligado. Qual é a nova velocidade da nave?

Passo 1

Vamos lá! A questão fala sobre uma nave que está orbitando a Terra com uma certa velocidade . O comandante decide usar o sistema de propulsão para diminuir o raio dessa órbita em . Nosso objetivo é descobrir qual será a nova velocidade da nave nessa nova órbita. Vamos precisar entender um pouco sobre as leis do movimento orbital para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a velocidade de uma órbita circular está relacionada ao raio dessa órbita pela fórmula:
onde:
  • é a velocidade orbital,
  • é a constante gravitacional,
  • é a massa da Terra,
  • é o raio da órbita.
Essa fórmula nos diz que a velocidade orbital depende inversamente da raiz quadrada do raio. Ou seja, se o raio diminui, a velocidade aumenta.

Passo 3

A questão diz que o raio da órbita é diminuído em . Isso significa que o novo raio será:
Portanto, o novo raio é do raio original.

Passo 4

Agora, vamos usar a fórmula da velocidade orbital para encontrar a nova velocidade :
Aqui, substituímos por e reorganizamos a fórmula.

Passo 5

Vamos calcular o valor de :
Isso significa que:
Então, a nova velocidade é aproximadamente vezes a velocidade original.

Resposta

A nova velocidade da nave é aproximadamente .

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