Uma nave está em órbita natural (com sistema de propulsão desligado) em torno da Terra com velocidade v. O comandante resolve então mudar de órbita e, por meio do seu sistema de propulsão, a nave é transferida para uma órbita cujo raio é diminuído
do original, onde fica novamente com o sistema de propulsão desligado. Qual é a nova velocidade da nave?
Passo 1
Vamos lá! A questão fala sobre uma nave que está orbitando a Terra com uma certa velocidade
. O comandante decide usar o sistema de propulsão para diminuir o raio dessa órbita em
. Nosso objetivo é descobrir qual será a nova velocidade da nave nessa nova órbita. Vamos precisar entender um pouco sobre as leis do movimento orbital para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que a velocidade de uma órbita circular está relacionada ao raio dessa órbita pela fórmula:
onde:
-
é a velocidade orbital, -
é a constante gravitacional, -
é a massa da Terra, -
é o raio da órbita.
Essa fórmula nos diz que a velocidade orbital depende inversamente da raiz quadrada do raio. Ou seja, se o raio diminui, a velocidade aumenta.
Passo 3
A questão diz que o raio da órbita é diminuído em
. Isso significa que o novo raio
será:
Portanto, o novo raio é
do raio original.
Passo 4
Agora, vamos usar a fórmula da velocidade orbital para encontrar a nova velocidade
:
Aqui, substituímos
por
e reorganizamos a fórmula.
Passo 5
Vamos calcular o valor de
:
Isso significa que:
Então, a nova velocidade é aproximadamente
vezes a velocidade original.
Resposta
A nova velocidade da nave é aproximadamente
.