S Dois estudantes estão numa varanda a uma altura acima da rua. Um deles joga uma bola verticalmente para baixo com velocidade : ao mesmo tempo, o outro joga uma bola verticalmente para cima com a mesma velocidade. Responda o seguinte, simbolicamente em termos de . (a) Qual é o intervalo de tempo entre quando a primeira e a segunda bola batem no chão?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! A questão fala sobre duas bolas sendo lançadas de uma varanda a uma altura acima do chão. Um aluno joga uma bola para baixo com velocidade inicial , e o outro joga uma bola para cima com a mesma velocidade. Nosso objetivo aqui é descobrir o intervalo de tempo entre o momento em que a primeira e a segunda bola batem no chão. Para isso, vamos usar conceitos de movimento uniformemente variado e as equações de queda livre.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a trajetória da bola que foi lançada para baixo. Como ela já tem uma velocidade inicial direcionada para baixo, a fórmula que descreve a posição dessa bola no tempo é:
Aqui, é a aceleração da gravidade (aproximadamente ).

Passo 3

Agora, vamos olhar para a bola que foi jogada para cima. Ela começa com a mesma velocidade inicial , mas está indo contra a gravidade. A posição dessa bola no tempo é dada por:
Perceba que o sinal da segunda parcela mudou porque a gravidade está desacelerando a bola que vai para cima.

Passo 4

Para encontrar o tempo que cada bola leva para atingir o chão, precisamos resolver as duas equações para . Vamos resolver para a bola que foi lançada para baixo primeiro:
Esta é uma equação quadrática que pode ser resolvida usando a fórmula de Bhaskara.

Passo 5

Fazendo o mesmo para a bola que foi lançada para cima:
Também resolveremos esta equação usando Bhaskara.

Passo 6

Após resolver ambas as equações, vamos obter dois tempos diferentes: para a bola que foi lançada para baixo e para a bola que foi lançada para cima. O intervalo de tempo entre elas é simplesmente:
Isso nos dará a diferença de tempo entre os dois impactos no chão.

Resposta

O intervalo de tempo entre quando a primeira e a segunda bola batem no chão é dado por:
Portanto, o intervalo de tempo é .

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