Enunciado

Um corpo se move ao longo do eixo x de acordo com a equação x   =   3,00 t 2   –   2,00 t   +   3,00 , em que x está em metros e t em segundos. Determine 

  1. a velocidade escalar média entre t = 2,00 s e t = 3,00 s,
  2. a velocidade instantânea em t = 2,00 s e em t = 3,00 s,
  3. a aceleração média entre t = 2,00 s e t = 3,00 s, e
  4. a aceleração instantânea em t = 2,00 s e t = 3,00 s.
  5. Em qual instante o corpo está em repouso?

Passo 1

a.Então, gente, a velocidade escalar média é a velocidade média que desconsidera o sentido do deslocamento do corpo, é literalmente só a média dos módulos das velocidades que o corpo desenvolve ao longo do percurso.

Pra calcular a velocidade escalar média entre t = 2   s e t = 3   s , primeiro a gente determina as posições do corpo nesses instantes. Vamos ter:

Pra t = 2   s :

x 2 = 3,00 ∙ 2 2   –   2,00 ∙ 2   +   3,00

x 2 = 11   m

Pra t = 3   s :

x 2 = 3,00 ∙ 3 2   –   2,00 ∙ 3   +   3,00

x 2 = 24   m

Com isso, a gente tem como calcular ∆ x e ∆ t , em que Δ x Δ t = V m . Temos:

∆ x = 24   m - 11   m = 13   m

∆ t = 3   s - 2   s = 1   s

Então:

V m = 13   m 1   s = 13   m / s

Passo 2

b.A velocidade instantânea, diferente da média, é a velocidade em um determinado instante, e não a média de velocidade entre 2 instantes.

Essa velocidade a gente consegue determinar pela derivada da função x ( t ) . Derivando, nós temos:

x ' t = v t = 2 ∙ 3,00 t - 2,00 + 0

x ' t = v t = 6,00 t - 2,00

Agora, só aplicar os valores t = 2 e t = 3 pra determinar as velocidades nesses instantes:

x ' 2 = v 2 = 6,00 ∙ 2 - 2,00 = 10,00   m / s

x ' 3 = v 3 = 6,00 ∙ 3 - 2,00 = 16,00   m / s

Passo 3

c.A aceleração média é dada pela razão entre variação da velocidade entre dois instantes e o tempo decorrido entre esses instantes. Matematicamente, a gente tem:

a m = Δ v Δ t

A gente já sabe as velocidades nos instantes t = 2   s e t = 3   s , que calculamos no último Passo. Dá pra achar fácil ∆ v :

∆ v = 16,00 m s - 10,00 m s = 6,00 m s

E já temos ∆ t , que vale ∆ t = 1   s . Com isso, a aceleração média vale:

a m = 6,00   m / s 1   s = 6,00 m s 2

Passo 4

d.A aceleração instantânea vai ser dada pela derivada da função v ( t ) , que a gente determinou no Passo 2. Derivamos ela de novo e vamos ter:

a t = v ' t = 6,00 - 0

a t = v ' t = 6,00   m / s 2

Com isso, a gente vê que a aceleração sempre vai valer 6,00   m / s 2 , independentemente do instante que for calculada!

Logo, nos instantes pedidos, em em qualquer outro instante, ela vai ter esse valor!

Passo 5

e.O instante de repouso vai acontecer quando o corpo tiver velocidade zero. Nós já determinamos a função v ( t ) no passo 2. Vamos determinar t pra quando v t = 0 então!

Temos:

0 = 6,00 t - 2,00

6,00 t = 2,00

t = 2,00 6,00 = 0,33   s

Resposta

a. V m = 13   m / s

b. x ' 2 = v 2 = 6,00 ∙ 2 - 2,00 = 10,00   m / s x ' 3 = v 3 = 6,00 ∙ 3 - 2,00 = 16,00   m / s

c. a m = 6,00 m s 2

d. a t = 6,00   m / s 2

e. t = 0,33   s

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Você arremessa uma bola no ar diretamente para cima. Em cada um dos seguintes instantes, o módulo da aceleração da bola é maior do que g , igual a g , menor do que g ou igual a 0 ? Explique.Logo após
A FIGURA Q2.7 mostra o gráfico da posição versus tempo para um objeto em movimento. Em qual ou quais dos pontos assinalados:o objeto está se movendo com maior rapidez?o objeto está se movendo para a e
Dê um exemplo de movimento vertical com uma velocidade positiva e uma aceleração negativa.Dê um exemplo de movimento vertical com uma velocidade negativa e uma aceleração negativa.
A FIGURA Q2.8 mostra seis quadros de diagramas de movimento de dois carros A e B em movimento.Em algum instante de tempo os dois carros ocupam a mesma posição? Em caso afirmativo, qual o número dos qu
Interprete o gráfico da posição fornecido na figura redigindo uma pequena “história” do que está ocorrendo. Seja criativo! Imagine e esboce personagens e situações! Dizer simplesmente que “um carro mo